剪枝算法(算法优化)

一：剪枝策略的寻找的方法

1）微观方法：从问题本身出发，发现剪枝条件

2）宏观方法：从整体出发，发现剪枝条件。

3）注意提高效率，这是关键，最重要的。

总之，剪枝策略，属于算法优化范畴；通常应用在DFS 和 BFS 搜索算法中；剪枝策略就是寻找过滤条件，提前减少不必要的搜索路径。

二：剪枝算法(算法优化)

1、简介

    在搜索算法中优化中，剪枝，就是通过某种判断，避免一些不必要的遍历过程，形象的说，就是剪去了搜索树中的某些“枝条”，故称剪枝。应用剪枝优化的核心问题是设计剪枝判断方法，即确定哪些枝条应当舍弃，哪些枝条应当保留的方法。

2、剪枝优化三原则: 正确、准确、高效.原则

     搜索算法,绝大部分需要用到剪枝.然而,不是所有的枝条都可以剪掉,这就需要通过设计出合理的判断方法,以决定某一分支的取舍. 在设计判断方法的时候,需要遵循一定的原则.

剪枝的原则

  1） 正确性

  正如上文所述,枝条不是爱剪就能剪的. 如果随便剪枝,把带有最优解的那一分支也剪掉了的话,剪枝也就失去了意义. 所以,剪枝的前提是一定要保证不丢失正确的结果.

  2）准确性

  在保证了正确性的基础上,我们应该根据具体问题具体分析,采用合适的判断手段,使不包含最优解的枝条尽可能多的被剪去,以达到程序“最优化”的目的. 可以说,剪枝的准确性,是衡量一个优化算法好坏的标准.

 3）高效性

设计优化程序的根本目的,是要减少搜索的次数,使程序运行的时间减少. 但为了使搜索次数尽可能的减少,我们又必须花工夫设计出一个准确性较高的优化算法,而当算法的准确性升高,其判断的次数必定增多,从而又导致耗时的增多,这便引出了矛盾. 因此,如何在优化与效率之间寻找一个平衡点,使得程序的时间复杂度尽可能降低,同样是非常重要的. 倘若一个剪枝的判断效果非常好,但是它却需要耗费大量的时间来判断、比较,结果整个程序运行起来也跟没有优化过的没什么区别,这样就太得不偿失了.

3、分类

   剪枝算法按照其判断思路可大致分成两类:可行性剪枝及最优性剪枝.

3.1 可行性剪枝 —— 该方法判断继续搜索能否得出答案，如果不能直接回溯。

3.2 最优性剪枝

    最优性剪枝，又称为上下界剪枝，是一种重要的搜索剪枝策略。它记录当前得到的最优值，如果当前结点已经无法产生比当前最优解更优的解时，可以提前回溯。

三：示例分析

题目来源于poj 3900 The Robbery (类似于背包问题，但是不能够用背包求解)

1 分析：W，C值很大，数组开不下（所以，不能用背包处理），但是发现N值很小，(1+15)*15/2=120，所以可以考虑dfs+剪枝。

首先利用贪心的思想我们对箱子进行排序，关键字为性价比（参考了poj里的discuss）。也就是单位重量的价值最高的排第一，搜索的时候枚举顺序注意一定要从满到空，这样才能最快的找到一个可行解然后利用它进行接下来的剪枝。

剪枝1. 之后所有的钻石价值+目前已经得到的价值<=ans 则剪枝。

剪枝2. 剩下的重量全部装目前最高性价比的钻石+目前已经得到的价值<=ans 则剪枝（非常重要的剪枝）。

2 程序代码

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1. #include<cstdio>  
2. #include<cmath>  
3. #include<algorithm>  
4. using namespace std;  
5. #define MY_MAX(a,b) (a)>(b)?(a):(b)  
6. const int maxN = 20;  
7. struct NOTE  
8. {  
9.     long long weight;  
10.     long long value;  
11.     int num;  
12. }box[maxN];  
13. int n;// 个数小于20  
14. long long m,ans;// m 总重量,ans最优解  
15. long long sum[maxN];      //保存一个后缀和  
16. bool cmp(const struct NOTE &a, const struct NOTE &b)  
17. {//按性价比排序,从大到小排列（注意若有取地址符号，则需有const）  
18.     return a.value*1.0/a.weight > b.value*1.0/b.weight;  
19. }  
20. inline bool cut (int pos,long long now_value,long long last_weight)  
21. {  
22.     if(pos == n+1) return true;//边界返回条件  
23.     if(now_value+sum[pos] < ans) return true;////如果后面所有的钻石加起来都<=ans，剪掉  
24.     double best = (box[pos].value*1.0/box[pos].weight);//当前最大的性价比  
25.     if(now_value+(long long)ceil(best*last_weight) < ans) return true;//以这个性价比取剩下的所有重量，如果<=ans,剪掉  
26.     return false;  
27. }  
28. void dfs(int pos,long long now_value,long long last_weight) //pos 当前数组的下标位置，now_value 目前的重量和，last_weight当前背包剩余容量  
29. {  
30.     ans = MY_MAX(ans,now_value);  
31.     if(cut(pos,now_value,last_weight))  return;//剪枝函数  
32.     for(int i=box[pos].num;i>=0;--i)//(暴力搜索)枚举顺序从满到空枚举，这样才能最快找到ans，然后利用ans剪枝  
33.     {  
34.         if(last_weight<box[pos].weight*i)   continue;  
35.         dfs(pos+1,now_value+box[pos].value*i,last_weight-box[pos].weight*i);  
36.     }  
37. }  
38. int main()  
39. {  
40.     int cas;  
41.     long long sumv,sumw;// 价值和重量的和；仅仅用到了一次（特殊情况才用到，能够一次全带走）  
42.     scanf("%d",&cas);  
43.     while(cas--)  
44.     {  
45.         ans=0;  
46.         sumv=sumw=0;  
47.         scanf("%d%lld",&n,&m);  
48.         for(int i=1;i<=n;i++)  
49.         {  
50.             scanf("%lld",&box[i].weight);  
51.             sumw+=box[i].weight*i;  
52.         }  
53.         for(int i=1;i<=n;i++)  
54.         {  
55.             scanf("%lld",&box[i].value);  
56.             box[i].num=i;  
57.             sumv+=box[i].value*i;  
58.         }  
59.         // 以上是数据的输入，下面才是刚刚开始的  
60.         // 如果sumv开始就比m总重量还小，直接输出  
61.         if(sumw<=m)  
62.         {  
63.             printf("%lld\n",sumv);  
64.             continue;  
65.         }  
66.         sort(box+1,box+1+n,cmp);// 从1开始计数的  
67.         sum[n+1]=0; // 倒着开始的  
68.         for(int i=n;i>=1;i--)  
69.         {  
70.          //计算后缀和  
71.             sum[i]=sum[i+1]+box[i].value*box[i].num;  
72.         }  
73.         dfs(1,0,m);  
74.         printf("%lld\n",ans);  
75.     }  
76.     return 0;  
77. }