草根整理|＇角平分线 垂分＇基本图形分析

在几何学科中，根据问题的条件和结论，分析并找到组成这个几何问题的一个或若干个基本图形，再应用这些基本图形的性质，使问题得到解决，这样一种分析方法就叫做基本图形分析法。

笔者认为基本图形分析法源于几何图形中局部图形的规律性、典型性特点，运用这种方法的目的在于形成双基平台，为提高思维的效率提供可能

例1

已知：如图，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，点E是BC的中点，

求证：DE∥AB且DE＝1/2(AB-AC)

解答分析

本题图形上半部分是角平分线及垂直，下半部分图形是线段中点，求证的是“线段和差”，所以需要一条辅助线沟通图形的上部和下部，构造“差线段”，于是我们可以考虑“延长CD交AB于F”，从而形成上等腰、下中位线的图形结构，此题也就引刃而解……

抽象出基本图形

角平分线、垂分图形

条件：AD平分∠CAB，CD⊥AD

辅助线：延长CD交AB于F

目的：补（等腰三角）形、构中（点）

例2

如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，

求证：BD=2CE

解答分析

发现图形中有“垂分基本图形”（角平分线 垂直平分线）后补成等腰三角形BCF后，易证△BAD≌△ACF

练习1

（1）如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD上BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE.

求证：DE∥BC，DE= (AB BC AC)/2

（2）如图，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其它条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？

（3）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？

提示

本题方法均是补形构成等腰三角形同时形成中位线，所不同的是，边与边的和差关系发生改变

练习2

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，过点B作DB⊥AB且∠DAB=∠BAC，过点D作DH⊥AC交边AC于H，设AD=x，DH=y，试求y关于x的解析式（不要求写出定义域）

提示

延长DB、AC交于点E，构成等腰三角形ADE的同时产生了三角形的中位线（△DHE中BC是中位线）

由于AD=x，AC=2，

由△ABD∽△ABC可知：AB^2=2x

由Rt△ABC可知：AB^2=4 (y/2)^2

∴ y=2√(2x-4)

有关角平分线基本图形的拓展

基本图形1

角平分线 平行线→等腰三角形

基本图形2

角平分线 垂分线→等腰三角形

基本图形3

角平分线  翻折→全等三角形