一道适合八、九年级学生的经典试题

前言

       本题武汉市八年级的一道题目，来自黄喆老师数学教研群，由大罕老师给出，一些解法由群内的一些老师提出，由于时间久了点，不能清楚记得具体解法是由哪位老师提出，所以未注明！再次表示歉意！我本人补充几种解法，并把各种解法梳理、归纳。

       数学的魅力在于在变化中探求不变，探求不变的过程也是条条大路通罗马，作为一名解题爱好者，他所知道的路越多，他就可能到达“罗马”，如果你只知道一条路，路上再有块石头将你绊了一下，你可能只能望着“罗马”而叹息，殊不知隔壁还有一条近路，路上也没有绊脚石，怎么发现脚下的路呢？有三个必备的条件：

四基扎实牢固

       张奠宙教授曾经提出过数学“双基”，即有扎实的基础知识和基本技能，在《中国数学双基》这本书中有详细的记载。随着课程改革的深入，“双基已经演变成“四基”，“四基”指的是基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。即通达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。进一步解读为对教材上的基本概念、例题的思想方法等要掌握精准，对基本计算方法要做到简洁和无差错，掌握一定的数学操作和画图方法，“四基”可以看成是数学学习的“基石”！

竞赛定理熟识

         要对拓展教材或是竞赛相关的一些重要定理有所熟悉，在一些公办学校很多同学是很有潜质的，但是学校里面没有讲授这方面的知识，学生自己也没有去探索，导致做题的思路狭窄，很是可惜。还有一部分学生知道了这些定理公式的皮毛，不知道定理的由来，解题中生搬硬套，往往弄巧成拙，中国有句古话，皮之不存毛将焉附！

喜欢数学学习

        学生本身对数学学习的兴趣很重要，爱屋及乌，如果不喜欢数学，纵使再有潜力，也不会形成数学学习的高阶思维。要勇于钻研，具有一定的批判性思维，说的明白点就是有质疑精神，平时要注意“一题多解”的积累，熟悉各种解法的来龙去脉，并能评判各种解法的优劣以及使用限定。

下面以一道题目为例

原题再现

下面列出七种解法

方法一

构造“一线三等角”相似（适合九年级学生）

思路来源

在B、D、C这条线上有两组“一线三等角”，于是转化成相似的比例线段，这是教材上的核心图形，如果掌握精准，自然会发现下面的解法：

方法二

截长法构造全等（适合八年级学生）

思路来源

发现AD平分∠MDE，想到了图形的翻折，用了截长法构造全等，这是八年级构造构造全等添加辅助线的基本方法。

方法三

补短法构造全等（适合八年级学生）

思路来源

与方法二类似，用到了图形的翻折，用了补短法构造全等，相比较辅助线比第二问繁琐一些。

方法四

四点共圆（适合九年级的竞赛）

思路来源

四边形内对角之和180°，四点共圆，巧妙化解，这需要对拓展教材中的四点共圆问题有深刻研究后，才发现这条简捷的路。

方法五

共角共边形相似（适合九年级）

思路来源

发现∠ADE=∠B=∠C=∠ADM=60°，得到两组“共角共边形”，再通过比例线段转化，这是九年级的教材上基本图形，掌握的好不难发现下面的解法。

方法六

角平分线定理构造全等（适合八年级）

思路来源

由角平分线想到角平分线定理，这又是来源于八年经教材上的核心定理。

方法七

利用旋转构造全等（适合八年级）

思路来源

      通过构造等边三角形实现图形的旋转，再构造全等，这种想法比较难想，需要平时多积累旋转重构的解题经验。

解法总结

       个人感觉本题应属于经典问题，适合不同学段学生，解法也是非常多样，基本做到了“条条大路通罗马”，各种解法的思路来源见下表：

       如果对教材上的概念、方法、例题掌握不扎实，对思想方法理解不深刻，对“图形翻折”的操作意识不强，对拓展教材中的“四点共圆”又一无所知，恐怕解题的思路就很狭窄了，甚至“走投无路”！敢问路在何方？其实路就在你的脚下，如果我们夯实“四基”、熟悉一些拓展的知识、注意“一题多解”的积累等，就会拥有一双慧眼，去发现脚下的康庄大道！