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等式(组)中的参数范围问题,是学习不等式常见的一种题型,由于综合了不等式的有关的知识点,所以题目难度较大,综合性较强,现在请大家一起跟着袁老师去学习吧:
知识准备
1.不等式的基本性质
基本性质1:不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;
基本性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;
基本性质3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变.
2.不等式的解集:满足不等式的所有未知数的值组成不等式的解集。
3.不等式组的解集:不等式组中,各个不等式的解集的公共部分称为这个不等式组的解集。
一、应用不等式的基本性质确定参数的值
例1:不等式(a-1)x>a-1的解集是x<1,求a的取值范围。
解:不等式的解集是x<1,不等式两边同时除以了(a-1),不等号方向发生了改变,
所以a-1<0,a<1.
例2:不等式5x-2>ax 4的解集是x>6/(5-a), 求a的取值范围。
解: 5x-ax>2 4
(5-a)x>6
∴由不等式的基本性质1,得5-a> 0
∴a<5.
变式:不等式5x-2>ax 4的解集是x>2,求a的取值范围。
解:5x-ax>2 4
(5-a)x>6
∵不等式的解集为x>2
∴由不等式的基本性质1,
得5-a> 0且6/(5-a)=2
∴a<5且a=2
∴a=2
二、对照解集确定参数的值
例3.
解:可以解不等式组得,x>3 2b,x<0.5a 0.5,
根据解集的定义,3 2b=-1,0.5a 0.5=1,可得a=1,b=-2的值,(a 1)(b-2)=-8.
根据解集的定义,端点处的取值和不等式解集的端点应该一致.
例4.
解:由①得:x≥a, 由②得:x<2
∵不等式组有解,
已经确定一个不等式的解集是x<2,在数轴上表示出来,如图
分两步进行:
第一步,定范围:a>2无解,a<2一定有解;
第二步,定界点:当a=2时,两个不等式的解集一个为x>2,一个为x<2,没有公共部分,无解;
所以,使得原不等式组有解的a的取值范围是a<2.
变式1:
分析:由例4和上图的数轴表示,可以直观的得出:a≧2
变式2:
解:借助数轴,有5个正整数解,此a的范围在-4与-3之间.
再确定界点-4与-3是否符合题意,
当a=-4时,此时解集为-4≤x<2,此时有6个整数解,不符合题意;
当a=-3时,此时解集为-3≤x<2,此时有5个整数解,符合题意;
综上,a的取值范围为-4<a≤-3.
小结
在解决不等式有关的参数范围问题,我们常常采取先确定范围,再验证界点是否符合题意两个步骤。数轴的使用非常直观,形象,起到了事半功倍的效果。
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