【例题】已知:CN是正六边形的外角平分线,M是边BC上的一点,将以AM为一边向右侧作一个角∠AMN=∠ABC(正六边形的内角)交CN于N点,求证:AM=AN.
【图文解析】
(本题有多种解法)
法一:在AB上截取点D,使AD=CM.连接MD.如下图示:
法二:连接AC,在AC上截取点D,连接MD,使DM=CM.,如下图示:
法三:延长NC至点D,连接MD,使DM=CM.如下图示:
法四:作△CMN关于BC对称的△CMN',连接AC。再证A、C、N'在同一直线上,最后证△AMN'是等腰三角形.如下图示:
法五:作△ABM关于BC对称的△A'BM,连接A’M、A’C,再证A’、C、N在同一直线上,最后证△A’MN是等腰三角形.如下图示:
法六:将△ABM绕B点顺时针旋转使点A与点C重合,得到△BDP,连接PM,如下图示:
不难得到:PC∥MN.
进一步,可得到:
【反思】所有解法均围绕旋转、对称.
【拓展与延伸】(下面两问均以动态形式展示)
(1)若点M在直线BC上,结论仍然成立,如下图示:
(2)若改为其他任意正多边形,也同样有类似的结论.
(认真观察下列动画)
(分别思考为正三角形和正方形时,如何证明?)
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【上期答案】
【原题呈现】已知多边形ABEFGHCD是由边长为2的正方形ABCD和正六边形BEFGHC组成,一圆过A、D、F、G四点,求该圆半径的长(取根号3=1.73,精确到0.1).
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