九上尖子生培优系列(60) ——正多边形与圆(5)

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【例题】已知：CN是正六边形的外角平分线，M是边BC上的一点，将以AM为一边向右侧作一个角∠AMN＝∠ABC（正六边形的内角）交CN于N点，求证：AM＝AN.

【图文解析】

（本题有多种解法）

法一：在AB上截取点D，使AD＝CM.连接MD.如下图示：

法二：连接AC，在AC上截取点D，连接MD，使DM＝CM.，如下图示：

法三：延长NC至点D，连接MD，使DM＝CM.如下图示：

法四：作△CMN关于BC对称的△CMN'，连接AC。再证A、C、N'在同一直线上，最后证△AMN'是等腰三角形.如下图示：

法五：作△ABM关于BC对称的△A'BM，连接A’M、A’C，再证A’、C、N在同一直线上，最后证△A’MN是等腰三角形.如下图示：

法六：将△ABM绕B点顺时针旋转使点A与点C重合，得到△BDP，连接PM，如下图示：

       不难得到：PC∥MN.

       进一步，可得到：

【反思】所有解法均围绕旋转、对称.

【拓展与延伸】（下面两问均以动态形式展示）

（1）若点M在直线BC上，结论仍然成立，如下图示：

（2）若改为其他任意正多边形，也同样有类似的结论.

（认真观察下列动画）

（分别思考为正三角形和正方形时，如何证明?）

（本期的“一例一练”的试题word文档将同步上传到魔方数学群530471110，需要的朋友可以加群下载!!!)

【上期答案】

【原题呈现】已知多边形ABEFGHCD是由边长为2的正方形ABCD和正六边形BEFGHC组成，一圆过A、D、F、G四点，求该圆半径的长（取根号3＝1.73，精确到0.1）．