【例题】有一张矩形纸片ABCD,其中AD=4cm,上面有一个以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,如图(甲).将它沿DE折叠,是A点落在BC上,如图(乙).求这时半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积.
(本期的“一例一练”的试题word文档将同步上传到魔方数学群530471110,需要的朋友可以加群下载!!!)
【图文解析】如图,露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得.在Rt△ADC中,可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长,求出∠DAC的度数,进而得出∠ODA和∠ODK的度数,即可求得△ODK和扇形ODK的面积,由此可求得阴影部分的面积.
首先,不难得到:圆O的半径为2,AB=CD=2,如下图示:
其次,在Rt△ACD中,由AD=4,CD=2不难得到:
(当然如果学了锐角三角函数求∠CDA就更简单了,但不可用“300的角所对的直角等于斜边的一半”的逆命题,尽管是真命题,但不是定理,不能用)
当然在此图中还可得到更多相关的性质,这些都最基本的结论,务必首先想到。这些结论也是解决本题的最基本的条件。下面分析如何求出阴影部分的面积。
显然阴影部分是弓形,必须转化为扇形面积与三角形面积相减,因此有:
因此,所求的阴影部分面积为:
S阴影=S扇形OKD-S△OKD
详细解答过程如下:
∵以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切,
∴AD=2CD,∵∠C=90°,∴∠DAC=30°,
∴∠ADC=60°,∴∠DOK=120°,
∴扇形ODK的面积为4/3πcm2,
作OH⊥DK于H,
∵∠D=∠K=30°,OD=2cm,
∴OH=1cm,DH=根号3cm;
∴△ODK的面积为根号3cm2
∴半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是:
【反思】此题解决过程中所用到的知识和辅助线均为常用,务必熟练,才能“熟能生巧”.
【练习】如图,AB为⊙O的切线,切点为B,连接AO,AO与⊙O交于点C,BD为⊙O的直径,连接CD.若∠A=30°,⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
【上期答案】
(解法与原题类似,不做详解)
特别推荐:
识图、读图、画图、作图——几何入门教学建议(福州市初一岗培)
联系客服