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【例题】如图,在平行四边形ABCD中,AB=12,AD=18,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=8×根号2,求△CEF的周长.
【解析】先计算出△ABE的周长,然后根据相似的性质求△CEF的周长.如下图示,
不难得到△ABE的周长=12 12 8=32,同时可求得CF=6,再由平行四边形ABCD可得:AB∥CD,进一步得到△CEF∽△BEA,相似比为CF:AB=6:12=1:2.
再利用相似三角形的周长比等于相似比,可得△CEF的周长=32×1/2=16.具体解答过程如下:
【解】∵在平行四边形ABCD中,AB=CD=12,AD=BC=18,∠BAD的平分线交BC于点E,
∴△ADF是等腰三角形,AD=DF=18;
∵AB=BE=12,∴CF=6;
∴在△ABG中,BG⊥AE,AB=12,BG=8×根号2,由勾股定理,可得:AG=4,
又∵BG⊥AE,
∴AE=2AG=8,
∴△ABE的周长等于32,
又∵在平行四边形ABCD中,AB∥CD,
∴△CEF∽△BEA,相似比为1:2,
∴△CEF的周长为16.
【反思】注意平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识灵活运用,特殊注意相似三角形的周长比等于相似比.
【练习】如图,在平行四边形ABCD中,CE是∠DCB的平分线,且交AB于E,DB与CE相交于O,已知AB=6,BC=4,求OB/DB的值.
∵CE是∠DCB的平分线,
在平行四边形ABCD中,DC∥AB
∴∠DCO=∠BCE,∠DCO=∠BEC
∴∠BEC=∠BCE ∴BE=BC=4
∵DC∥AB ∴△DOC∽△BOE
∴OB:OD=BE:CD=2:3
即OB:DB=2:5.
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