2017年台湾中考选择压轴(两正方形重叠面积)

（2017·台湾）如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点．若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为16、25，则四边形RBCS的面积为何（　　）

A.8 B.17/2 C.28/3 D.77/8

【图文解析】“完美”的两正方形放在一起，会组合成多少“完美”的试题，由每一试题而拓展延伸开来又会得到多少的“完美”的试题.本文就从这道试题出发，聊聊两正方形中的相关计算问题.

本题图解如下：

由∠BRQ＝90⁰及旁边∠A＝∠D＝90⁰自然想到“一线三等角（直角）“.

如下图示，可通过勾股定理、相似或三角函数的定义，可得到DS＝3/4.

可以得到：S_△_ABR_＝6，S_△_DRS＝3/8，因此所求的阴影部分面积为：

S_阴＝4²－6－3/8＝77/8.

下面，在本题的基础上，进行以下变式和拓展：

（1）如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点．若正方形ABCD的边长为4，设AR＝x，DS＝y，求y与x的函数关系式.

图解：

在Rt△ABR和Rt△DRS中，由tan∠ABR＝x/4=y/(4－x)＝tan∠DRS可得：y=x(4－x)/4.

（2）如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，CD与QR相交于S点．若两正方形ABCD的边长均为4，∠CBR＝60⁰，求图中阴影部分面积.

图解：

（3）如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，CD与QR相交于S点．若正方形ABCD的边长均为5，另一正方形BPQR的边PQ经过点C，且tan∠SCQ＝3/4，求图中阴影部分面积.

类似原题的解法，答案为77/8.

（4）如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，点R在对角线AC上．正方形ABCD的边长为4.

①当点R在对角线AC上运动时，求证点Q必在边CD所在的直线上；

②设AR＝√2x，两正方形重叠部分面积为y，求与x的函数关系式（给出解题思路即可）.

当然，还可这么更大胆编题：

（4）如图，两正方形ABCD和BPQR，如果正方形BPQR的边PQ经过C点，同时边QR所在的直线经过A点，求两正方形的边长比.

思考：本题能解吗？解唯一吗？如果不唯一或不能解，可添加一个什么条件让试题能解？

（本题不给答案，朋友们自己思考，也可到对应的群中交流讨论）

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