前言:之前一直想做关于反比例几何性质的整理,后来在大神雷新风老师的公众号看到了关于反比例函数(双曲线)的几何性质的总结做得很好,可惜的是只给了性质,没有给出证明。要想得到还有一点难度。所以就借此内容探究一番。
我把所有的演示做到了一起,接下来我们开始由浅入深的探究一下这些性质的由来和关联。
(封面图)
01面积性质
这几个面积性质应该是一目了然,注意动点在两支上的性质是一样的,后面的性质更能题现。
都是面积相等
稍稍的等量代换面积依然相等
02平行关系
如图,双曲线上任意两点(可同支可异支),向坐标轴分别做垂线段,连接垂足(一个属于x轴一个属于y轴)垂足连线平行与两点的连线(后面会用)。这一点可以设两点做标导出成比例即可证明平行(太简单我就不写了)。
如下同支:
如下异支:
通过设点坐标的方法可以更好的体会,为啥在不在同支都是成立的,因为点坐标是不区分再哪一支的。所以得到的成比例是始终成立的,从解析式的角度理解,虽然双曲线是两部分,但是解析式是一样的,所以两支虽型分离其实是一个整体。
03线段关系
031
AD=BC恒成立
第一次看到这个结论我有点不敢相信自己的眼睛,确实有点神奇,还是双曲线上两个点(不论同异支),他们和他们的连线与做标轴交点的距离相等。
证明如下用到了刚才的平行结论了。
由平行显然三个三角形全等,结论成立。(下图为同支)
由平行显然三个三角形全等,结论成立。(下图为异支)
032
图中条件:A,M为中心对称点(可看做正比例函数交点),过A做垂线AF,连接FM并延长交双曲线与点N则,结论:AN=NF=FP=PM
简证:(无需辅助线),显然O为AM中点,P为FM中点(中位线),PF=PM。由上边的031得FN=PM。N和P的横坐标互为相反数,N的横坐标为A的一半,AF垂直于Y轴,所以NF=NA。证毕
033
AF垂直于Y轴,做AF的中垂线分别交于点Q,E则AEFQ为菱形。
设A点做标,易得AF,QE互相垂直平分,结论显然成立。
04角度关系
041
如图四边形ABST为平行四边形,则图中所标的同色角相等。
再想他怎么证明的时候我是先想这个平行四边形怎么画出来的。A,B确定这个平四就应该确定了。
证明:如下图A,B分别做垂线,由平行四边形可得,三角形SBE与三角形ATH全等。若设A,B做标,可得HD=EB=x(B),ES=AH=y(A) .
042
ABST为平行四边形则STWV为菱形。
如下图:由刚才041得ATD,BCS皆为等腰三角形。又因为平四AT平行于SB,AB平行于ST。所以:BVD,ACW皆为等腰,进一步SVT,TSW皆为等腰,且SV与TW平行,所以STWV是菱形。
043
如图A,M为中心对称点,A,B为同支任意两点,连接BM。连直线AB,交点如图,则标同色的角相等
证明如下图,取AB中点M,由041得M也是CD中点,在Rt三角形OCD中(斜边中线)显然,MOD,MOC皆为等腰。MO平行于BM(中位线),所以BED,BCZ为等腰,证毕。
可以发现这个方法也能用来做041里的平行四边形。再找B 的中心对称点B',连接AB'交x轴的点就是平四的另一个顶点。
032其实也属于这个情况的特殊情况,延长直线后依然是有等腰的只是没画出来。
我们发现02平行,031相等线段在后面的性质证明中发挥了重要作用,所以要主记这两个性质。
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