旋转第三篇：隐藏线段，难倒一片

本篇篇幅可能较短，也可能较长。但不论篇幅长短，本篇的难度，会是近期旋转三篇里，难度最大的一篇。所以，先喝碗鸡汤：

实在惹不起，难道还躲不起吗？

对不起，还真躲不起。

躲不起，那咋办啊？

本篇会从原图形入手，一步步隐藏线段，让你看清这个变化过程。

注意，老孙在这里抛了碗带汤勺的鸡汤，你get到了吗？（答案是：           ）

我们先来画一个图。

将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°，得△ADE。如下图：

             

则根据旋转的性质，有：∠ABD=∠ACE=60°，AB=AD，AC=AE，BC=DE。所以，这里隐藏着两个等边三角形，△ABD和△ACE。现在，我们把BD和CE连接起来，便得到了完整的图形，两个等边三角形绕公共顶点的旋转，如下图：

         

接下来，我们将线段AE、ED、CE隐藏起来，便产生了【题1】。

【简析】将图形补全即可。这里补法比较多，核心思想只有一个：补出另一个等边三角形。可以以AP为边补，也可以以BP为边补，还可以以PC为边补。

在教学的过程中，有的学生不一定能快速掌握这个补法，但容易看出PA、PB、PC的长读满足勾股定理的关系，所以，老孙提供了一个“霸道硬移法”，即把线段强行移动，使直角三角形显现出来。如下图：

 

这样，就比较容易联想连接AD，构造等边三角形了。

 

接下来，我们把小△ACE的边拉长，继续转动，转到三点共线的位置，如下图：

   

        

这个图形，非常常见，也有很多结论，这里不讲。我们来看看隐藏线段的题。

若隐藏线段AE，则可产生【题2】。

【题2】如图，△ABC为等边三角形，E为△ABC边BC上异于B、C的任意一点，∠AEF=60°，EF与△ABC的外角平分线交于点F。求证：AE=EF。

 

【简析】证线段相等，可以转化为证△全等。此题条件特殊，作法是根据60°这个条件添加等边△。有两种常见添法，如下：

【添法一】根据∠ACB=60°添等边△，如图，证△AEN≌△ECF即可。

 

【添法二】根据∠ABC=60°添等边△，如图，证△AEN≌△ECF即可。

 

现在，我们转动大△ABD，转动到B、C两点共线，且C、D、E三点共线，便得到了如下一个图形：

      

若我们隐藏线段AE，则产生了如下一个非常常考的图形，如【题3】：

【题3】如图，已知∠APC=∠BPC=∠BAC=60°，求证：⑴△ABC是等边三角形；⑵PC=PA+PB。

 

这个题，是讲截长补短的经典题，参考文章《辅助线全等第二篇：截补旋转有规律》。

这里补充一个用相似证∠ABC=60°的方法：如图，只要证△AOP∽△COB即可。由条件，易证△AOC∽△POB，从而可以推导出AO·OB=PO·OC，从而可证△AOP∽△COB。

 

接下来，我们看看上图的情景变式题。

【题1】（2018年秋·中雅初二第一次月考小压轴题）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AB=AO+AP；④S_△ABC=S_{四边形AOCP}；其中正确的有            。 

 

【题2】如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=30°，∠ABC=90°，AD=AR，RH⊥BC，DG=GH。求证：△DHG为等边三角形。

 

【题3】（2018年秋·广益初二第一次月考压轴题）已知：如图（1），在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为16，点P从C点出发沿y轴负方向以2个单位长度/秒的速度向下运动，连接PA、PB，D为AC上的中点。

（1）直接写出坐标A      ，B        ，C        ，

（2）设点P运动的时间为t秒，问：当DP与DB垂直且相等时，求此时t的值；

（3）如图（2），∠ABP=60°，在第四象限内有一动点Q，连接QA、QB、QP，点Q在第四象限内运动，当∠PQA=60°时，判断QA是否平分∠PQB，并说明理由。

 

【题4】已知等边△ABC内接于圆O，点P是弧BC上一动点（不与B、C重合）。⑴求证：PA=PB+PC。⑵若AB=3，求PB+PC的最值。（初三可做）

 

由于篇幅原因，就不再放等腰直角三角形旋转后隐藏线段的题型，但处理的基本思想跟这个时一样的。

本文完。老孙原创，欢迎指正、交流、学习！