一、知识回顾 三角形的一边与它邻边延长线所组成的角，叫做三角形的外角 如图，把△ABC的边AB延长，得到∠CBD，称为△ABC的一个外角． “外角”是三角形的外角， 我们称某个角是某个三角形的外角， 而不称三角形某个角的外角． 三角形外角定理 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 如图，在△ABC中，∠CBD＝∠A＋∠C． 要找外角，我们可以形象的把基本图形生活化，整个外角模型就像一面小旗，外角就是旗杆和旗面下边缘的夹角． 二、专题突破 1、外角再认识 例： 如图，说出图中所有的外角，并指出其是哪个三角形的外角． 分析： 要确定某个角是某个三角形的外角，要先确定这个角的邻补角在哪个三角形中，它就是这个三角形的外角．比如∠1的邻补角是∠2，∠2在△CBE中，则∠1是△CBE的外角．再比如∠3的邻补角有2个，但均不在三角形中，所以不能作外角．而∠4的邻补角有2个，且均在三角形中，则∠4是两个三角形的外角． 解答： ∠1是△CBE的外角，∠2是△ABF的外角， ∠4和∠6是△ABF，△DEF的外角， ∠7是△DFE的外角，∠8是△CDA的外角． 2、借助外角，掌握基本模型 例： (1)八字形模型 如图，试探究∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系． 分析： 这个模型的结论是∠A＋∠B＝∠C＋∠D，很多同学利用两个三角形的内角和为180°，减去相等的两个对顶角，得出结论，稍显繁琐，我们不妨用外角来证． 证明： 在△AOB中，∠BOC＝∠A＋∠B， 在△COD中，∠BOC＝∠C＋∠D， ∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D． 2、借助外角，掌握基本模型 例： (2)平行线拐角模型(续) 如图，试探究∠B，∠BED，∠D之间的数量关系． 分析： 这个模型的结论是∠BED＝∠B＋∠D，之前我们过点E作平行线证明，但仔细观察这个结论，很像一个外角等于两个不相邻的内角和的形式．因此我们可以尝试把∠BED转化为外角，添加另一种辅助线． 证明： 如图，延长DE交AB于F， 在△BEF中，∠BED＝∠B＋∠1， ∵AB∥CD，∴∠1＝∠D， ∴∠BED＝∠B＋∠D． 2、借助外角，掌握基本模型 例： (2)平行线拐角模型(续) 如图，试探究∠B，∠BED，∠D之间的数量关系． 分析： 这个模型的结论是∠B＝∠BED＋∠D，形式也类似于外角定理，因此，我们同样也可以将∠B转化为外角，这时自然可以发现，同位角和内错角均可实现． 证明： 设BE，CD交于点F， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠B， 在△EFD中，∠1＝∠BED＋∠D， ∴∠B＝∠BED＋∠D． 2、借助外角，掌握基本模型 例： (3)规形图模型 如图，试探究∠A，∠B，∠C，∠BDC之间的数量关系． 分析： 这个模型很像数学工具圆规，故称规形图，结论是∠A＋∠B＋∠C＝∠BDC，这个模型，笔者在2017年暑假常州行者聚会学习时，曾受益匪浅，后整理成文《暑假特辑12 从知识体系的顺序过渡，谈对“规形图”结论证明的再认识》，这里我们还是选择两种最经典的外角证法． 证明： 法1： 如图，延长BD交AC于点E， 在△ABE中，∠1＝∠A＋∠B， 在△DEC中，∠BDC＝∠1＋∠C， ∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C． 法2： 如图，连接AD并延长至点E， 在△ABD中，∠3＝∠1＋∠B， 在△ADC中，∠4＝∠2＋∠C， ∴∠BDC＝∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C ＝∠BAC＋∠B＋∠C． 2、借助外角，掌握基本模型 例： (4)翻折模型，折∠A，探究∠A，∠1，∠2的数量关系 如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，∠ADE与∠DAE相等吗？ 分析： 本题的结论是∠1＋∠2＝2∠A，利用多边形内角和也能证明，简单过程如下，∠1＋∠2＝360°－(∠B＋∠C)－(∠A'DE＋∠A'ED)＝360°－(180°－∠A)－(180°－∠A')＝2∠A．但是我们也可以利用外角，翻折的常用辅助线作法是作对应点的连线，我们不妨连接AA'． 证明： 连接AA' 由题意得，A'D＝AD，∠3＝∠4， A'E＝AE，∠5＝∠6， 在△ADA'中，∠1＝∠3＋∠4＝2∠4， 在△AEA'中，∠2＝∠5＋∠6＝2∠6， ∴∠1＋∠2＝2∠4＋2∠6＝2∠BAC． 3、优解典例分析 例1： 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 分析： 这样的题，粗看无法下手，这就需要利用外角，或从中抽离出基本模型，通过结论求解．下面给出2种解法． 解答： 法1： 如图，设AC交BE于M，AD交BE于N 在△MEC中，∠1＝∠C＋∠E， 在△BND中，∠2＝∠B＋∠D， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°． 法2： 如图，设BD，CE交于点F， 易知∠A＋∠C＋∠D＝∠CFD， 在△BEF中，∠1＝∠B＋∠E， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠1＋∠CFD＝180°． 3、优解典例分析 例2： 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数． 分析： 本题中，∠D，∠C，∠B在一个四边形中，∠E，∠F在一个四边形中，∠A，∠G在一个三角形中，位置很分散，这就需要将其尽可能靠拢，显然，∠A，∠G的和可以等于一个外角，想到设AB，GF的交点是H，接下来，就可以用多种方法了． 解答： 法1： 如图，设AB，GF交于点H 在△AGH中，∠A＋∠G＝∠1， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G ＝∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠1， ∵∠B＋∠C＋∠D＋∠2＝360°， ∠3＋∠E＋∠F＋∠1＝360°， ∴∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠1 ＝720°－(∠2＋∠3)＝540°． 法2： 连接BF，∴∠A＋∠G＝∠1＋∠2， ∴∠A＋∠CBA＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH＋∠G ＝∠1＋∠2＋∠CBA＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFH ＝∠CBF＋∠BFE＋∠FED＋∠D＋∠C＝540°． 3、优解典例分析 例3： 如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，∠ADE与∠DAE相等吗？ 分析： 这是一道教科书上的原题，一道经典的外角题，我们拿到题时，首先思考，这两个角可以扮演什么角色，显然，图中∠DAE可看作组合角，即∠DAC与∠CAE的和，而∠ADE若看作内角，无法施展，联想到外角， 是∠B与∠BAD的和，则问题可解． 解答： ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD中，∠ADE＝∠B＋∠BAD， ∠DAE＝∠CAD＋∠EAC， ∵∠EAC＝∠B， ∴∠ADE＝∠DAE． 本讲思考题 Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：______； （2）若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 答案请下翻哦！ 
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