写在前面 犹记得2014年秋,笔者参加了区教研室组织的一次教师素养测试,其中,填空压轴题选取的正是上题,2014年武汉中考的填空压轴.当时笔者工作刚满两年,并没有在考场上解出,但却引起了我的关注.随后,区教研员也与各位老师在网络一同探讨,找到了多种解法. 2015年6月,笔者在工作三年的汇报课上,就以此题为本,设计了一堂《用旋转构造“手拉手”模型》的专题复习课.最近几年,可以用这种模型构造法解决的填空选择压轴题越来越多.2016年,常州特级教师于新华还在他的无锡讲座中开设了“捆绑旋转”的专题,可以说是对构造手拉手模型的进一步升华.而所有的手拉手模型,皆起源于下图. 一.何为手拉手模型 我们先来看一张示例图片. 国家领导人外出访问时,经常与他国领导人采用这样的握手方式,以示友好.那么上图中,AC,BC,DC,EC即可看作两个人的两双手臂,点C看作两个人握在一起的四只手,是不是很形象? 那么, “两个形状相同的图形,共用同一个顶点”,即可看作“手拉手模型”.更特殊的,符合“等线段,共顶点”的图形,也是常考的模型. 这里给出四个常见模型. 二.手拉手模型中的一些结论及证明 结论(2) 证法1: 由△ADC≌△BEC得 ∠1=∠2, 又∵∠APC=∠BPO, ∴∠AOB=∠ACB=60° 证法2:(捆绑旋转) △ACD绕点C顺时针旋转60°到△BCE 则AD也绕点C顺时针旋转60°到BE 其夹角为60° 具体详解可见《八上第一讲 全等证明格式易错分析(附“捆绑旋转”秒杀一类全等填空题)》 结论(3) 由∠1=∠2, AC=BC, ∠ACP=∠BCQ可证 三.如何构造手拉手模型 其实,说许多中考的填空选择压轴题难,那么难在哪呢?其实就在构造,比如,构造手拉手模型. 这里我们先从结论(8)入手. 将图化简,抽离出如图所示模型 易知∠AOC=∠BOA=60°,即∠BOC=120° ∠BOC与∠BAC互补 要证OA=OB+OC 法1:截长补短法 法2:旋转法 思路: BA可以看作由BC绕点B顺时针旋转60°得到, 那也可以将△BOC如此旋转. AC可以看作由BC绕点C逆时针旋转60°得到, 那也可以将△BOC如此旋转. 证法1: 将△BOC绕点B顺时针旋转60°到△BFA 则FA=OC,∠BFA=∠BOC=120° 连接FO,易证△BFO为等边三角形 则A,F,O三点共线 OA=OF+FA=OB+OC 证法2: 将△BOC绕点C逆时针旋转60°到△AGC 则GA=OB,∠AGC=∠BOC=120° 连接GO,易证△GCO为等边三角形 则A,G,O三点共线 OA=AG+GO=OB+OC 另外, 很多时候的截长补短法,都可以用旋转法解决,比如半角模型亦然. 八上第二讲 全等辅助线(1)截长补短 中的第二部分有提到. 思路: AD绕点A逆时针旋转90°到AB,则将△ADE绕点A逆时针旋转90°到△ABG AB绕点A顺时针旋转90°到AD,则将△ABF绕点A顺时针旋转90°到△ADG 但是旋转法有时必须注意: 要证三点共线!!! 碍于篇幅,本讲不再设置例题,直接给出本讲思考题: 如图,两个正方形ABCD,DEFG,求证:S△ADG=S△EDC 附第五讲答案: 在△ABC中,BC=10,AB的中垂线与AC的中垂线交BC于点D,E,若DE=4,求AD+AE的长. 两解: 当△ABC为钝角三角形,AD+AE=BD+EC=BC-DE=6 当△ABC为锐角三角形,AD+AE=BD+EC= BC+DE=14 END
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