模型 | 道是无“圆”却有“圆”，“圆”来如此简单

好文赏析

作者简介：沈岳夫( 1963—) ，浙江绍兴人，高级教师，浙江省绍兴市柯桥区平水镇中学，主要从事初中数学教育教学和解题研究

在一些考查解决问题综合题能力的试题中，如对于求角度、求线段长度、证线段相等问题，看似与圆无关，但若能深入思考、仔细考量，善于联想，挖掘出题中的隐含信息，巧妙地构造辅助圆，然后运用圆的有关知识，便能顺利地建立起条件与结论之间的联系，使问题柳暗花明，起到化隐为显，化繁为简，化难为易的效果，从而“圆”满地解决问题．笔者在初三第二轮专题复习时，对分层走班的B 班( 基础好) 学生，进行了微专题探究———如何巧构辅助圆破解问题，不妥之处敬请同行指正．

等长想圆

模型1

当题目出现有相同公共端点的三条相等线段，如图1，若OA = OB = OC，这样我们可根据圆的定义，构造辅助圆。

典例1

如图2所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为_________.

【解答】由于AB=AC=AD=2，由模型1易构辅助圆，如图3，延长BA 交圆于F，连接DF．易知∠FDB= 90°

巩固1

如图4，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为_________.

图4

【解答】由AB=AC=AD，∴B,C,D在以A为圆心，AB为直径的圆上；∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC；∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°；∴∠CAD=2∠BAC=88°

方法点睛

上述两个题目中，都具有相同公共端点的三条相等线段，这样自然联想到圆的定义构造辅助圆．简记: 利用“圆”定义→ 找定点、寻定长→ 现“圆”形．

等角想圆

模型2

当题目中出现在线段同侧有两个角相等，如图5，若∠C=∠D，这样我们可根据定弦定角，构造辅助圆．特别地，当∠C=∠D=90° 时，出现频率最高．

典例2

如图6，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E 在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF 的长为_________.

【解答】因为∠BOC=∠BFC=90°，

由模型2 知，点B、O、F、C 四点共圆，如图7，

所以∠BFO=∠BCO=45°=∠BDE，

而∠DBE是△BOF和△BED公共角，

巩固2

如图8，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点( 不与点B，C，D重合) ，AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN 始终保持45°不变．

【解答】（1）略；（2）略；（3）22.5°

方法点睛

图6中注意到张角∠BOC=∠BFC=90°，利用“直径所对圆周角是直角”构造辅助圆，要善于把它们联系起来处理问题，做到见直角思直径，见直径想直角，这样可以迅速释放题目内涵，打开解题思路．而图9注意到张角∠MAN=∠MBF=45°，由模型3知A、B、M、F四点共圆，则第( 1) 、( 2) 问就迎刃而解．简记: 张角相等→找定长、寻圆心→现“圆”形．

互补想圆

模型3

当题目出现四边形，且对角之和互补，如图10，若∠B+∠D = 180°，这样我们可根据圆内接四边形性质，构造辅助圆．

典例3

如图11，Ｒt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC= 6√2，则另一直角边BC的长为_________.

【解答】由题意，易知∠AOB=∠ACB=90°，由模型3知，点A、O、B、C 四点共圆，且OA=OB．再有AC+BC=√2OC，所以 5+BC =√2×6√2，解得BC=7．

巩固3

如图12，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为_________.

【解答】18

巩固4

如图13，已知，点D、E分别是等边△ABC的边BC、AB上的点，∠ADE=60°．点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证: BE=CM．

【解答】略

方法点睛

上述3个题目中，都属于“对角互补”型构造辅助圆．具体地说，图11由辅助圆可知∠ACO=45°，进而用结论或过O作∠ACB的垂线构造正方形解决问题; 图12由辅助圆可知∠ACD=45°，进而把△ADC沿AC翻折得到△AFC，然后再作AE⊥BC，进而将四边形ABCD的面积转化为Ｒt△AEC面积的两倍获解; 图13由辅助圆可知AE=AM进而获解．简记: 对角互补→ 想直径、寻圆心→现“圆”形．

倍角想圆

模型4

当题目出现一个角是另一个角的两倍，且所对边相等，如图14，若∠AOB=2∠C，这样我们可根据圆心角是同弧所对圆周角的两倍，构造辅助圆．

典例4

在平面直角坐标系中，已知点A( 4，0) 、B(－6，0) ，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为_________.

【解答】先构造以AB为斜边的等腰Ｒt△ABP( 如图15)，然后以点P 为圆心，PA长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，则∠BCA =1/2∠BPA=45°，即点C即为所求．

过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，在Ｒt△PFC 中，PF=1，PC=5√2

所以OC=OF+CF =5+7=12，故点C坐标为( 0,12) ;

同理求得y轴负半轴上的点C坐标为( 0，－12) ．

综上所述，满足条件的点C坐标为( 0，12) 或( 0，－12) ．

巩固5

上题中，当∠BCA=60° 时，其他条件不变，求点C的坐标．

【解答】略

方法点睛

当出现45°、60° 这类特殊角时，把它看成圆周角，然后构造出此角两倍的圆心角，这一招，要特别留意哟．这种“构圆”策略，是通过对题目的深入分析，或联想，或转化，挖掘知识模块内蕴的思想方法，是一种经验的“喷薄”．简记: 见定角→ 找对边( 定长) → 转化圆心角→ 现“圆”形．

拓展篇

拓展1

平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB =120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是

【解答】2,3,4

拓展2

如图16，已知抛物线y= 1/2x²+bx+c 与x 轴交于A( 4，0) 、B( 2，0) ，与y 轴交于点C．

( 1) 求抛物线的解析式;

( 2) 点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值;

( 3) 点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC=45°，请直接写出点P的坐标．

【解答】（1) 略；( 2) 略; ( 3) 作出如图17的辅助圆，可求得点P的坐标为( 1，－1+√10 ) 、( 1，－1－√10 )

总结

通过上述4 类问题的分析，我们不难看出: 解综合题时若能认真审题，仔细读题，若具备4 个例子中的某个特征，恰当构造辅助圆，则使题目分散的条件集中化，隐含的条件显性化，起到化难为易、打开思路的效果．因此，寻圆于题，化“隐”为“显”，并非无中生有，而是建立在对已知条件和待求点充分观察、思考的基础上，才敢于“创新”，可谓平中见新，出奇制胜．让我们在解题中不禁惊叹: 妙哉，“圆”来如此破解!

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