第6讲 数的整除性（二）

　　这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

　　一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：

能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

例1 判断七位数1839673能否被11整除。

分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

　　根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。

　　一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。

例2 求下列各数除以11的余数：

　　（1）41873； （2）296738185。

分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11

　　=7÷11＝0……7，

　　所以41873除以11的余数是7。

　　（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。

　　（17+11×2）-32＝7，

　　所以296738185除以11的余数是7。

　　需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。

例3 求

除以11的余数。

分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。

　　（9×100-1×101）÷11

　　=799÷11=72……7，

　　11-7=4，所求余数是4。

　　例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，

奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。

例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？

解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。有3377，3773，7337，7733。

例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。

分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由

　　（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5

　　知，987654321不能被11整除。为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除。调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。所求数为987652413。

例6 六位数

能被99整除，求A和B。

分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。因为六位数能被9整除，所以

　　A+2+8+7+5+B

　　＝22+A+B

　　应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。又因为六位数能被11整除，所以

　　（A＋8＋5）－（2＋7＋B）

　　＝A-B＋4

　　应能被11整除，即

　　A-B+4=0或A-B+4=11。

　　化简得B-A＝4或A-B＝7。

　　因为A+B与A-B同奇同偶，所以有

　　

　　在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。

　　在（2）中，上、下两式相加，得

　　（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，

　　2B＝18，

　　B=9。

　　将B=9代入A＋B=14，得A＝5。

　　所以，A=5，B＝9。

 

 练习6

　　1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？

　　2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？

　　3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。

　　4．求下列各数除以11的余数：

　　（1）2485； （2）63582； （3）987654321。

　　5．求

除以11的余数。

　　6．六位数

5A634B能被33整除，求A+B。

　　7．七位数

3A8629B是88的倍数，求A和B。