让我们先看下面几个问题。
例1马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋,他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问:小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配?
分析与解:由下图可以看出,帽子和鞋共有6种搭配。
事实上,小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子,有3种方法;第二步穿鞋,有2种方法。对第一步的每种方法,第二步都有两种方法,所以不同的搭配共有
3×2=6(种)。
例2从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路,从丙地到丁地也有2条路。问:从甲地经乙、丙两地到丁地,共有多少种不同的走法?
分析与解:用A1,A2表示从甲地到乙地的2条路,用B1,B2,B3表示从乙地到丙地的3条路,用C1,C2表示从丙地到丁地的2条路(见下页图)。
共有下面12种走法:
A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1
A1B1C2 A1B2C A1B3C2
A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1
A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2
事实上,从甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有2种方法,第二步乙到丙有3种方法,第3步丙到丁有2种方法。对于第一步的每种方法,第二步都有3种方法,所以从甲到丙有2×3=6(种)方法;对从甲到丙的每种方法,第三步都有2种方法,所以不同的走法共有
2×3×2=12(种)。
以上两例用到的数学思想就是数学上的乘法原理。
乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法,那么按照这样的步骤完成这件任务共有
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法。
从乘法原理可以看出:将完成一件任务分成几步做,是解决问题的关键,而这几步是完成这件任务缺一不可的。
例3用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?
分析与解:组成一个三位数要分三步进行:第一步确定百位上的数字,除0以外有5种选法;第二步确定十位上的数字,因为数字可以重复,有6种选法;第三步确定个位上的数字,也有6种选法。根据乘法原理,可以组成三位数
5×6×6=180(个)。
例4如下图,A,B,C,D,E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色,要使相邻的区域染不同的颜色,共有多少种不同的染色方法?
分析与解:将染色这一过程分为依次给A,B,C,D,E染色五步。
先给A染色,因为有5种颜色,故有5种不同的染色方法;第2步给B染色,因不能与A同色,还剩下4种颜色可选择,故有4种不同的染色方法;第3步给C染色,因为不能与A,B同色,故有3种不同的染色方法;第4步给D染色,因为不能与A,C同色,故有3种不同的染色方法;第5步给E染色,由于不能与A,C,D同色,故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理,共有不同的染色方法
5×4×3×3×2=360(种)。
例5求360共有多少个不同的约数。
分析与解:先将360分解质因数,
360=2×2×2×3×3×5,
所以360的约数的质因数必然在2,3,5之中。为了确定360的所有不同的约数,我们分三步进行:
第1步确定约数中含有2的个数,可能是0,1,2,3个,即有4种可能;
第2步确定约数中含有3的个数,可能是0,1,2个,即有3种可能;
第3步确定约数中含有5的个数,可能没有,也可能有1个,即有2种可能。
根据乘法原理,360的不同约数共有
4×3×2=24(个)。
由例5得到:如果一个自然数N分解质因数后的形式为
其中P1,P2,…,Pl都是质数,n1,n2…,nl都是自然数,则N的所有约数的个数为:
(n1+1)×(n2+1)×…×(nl+1)。
利用上面的公式,可以很容易地算出某个自然数的所有约数的个数。例如,11088=24×32×7×11,11088共有不同的约数
(4+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=60(个)。
例6有10块糖,每天至少吃一块,吃完为止。问:共有多少种不同的吃法?
分析与解:将10块糖排成一排,糖与糖之间共有9个空。从头开始,如果相邻两块糖是分在两天吃的,那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃:第一天吃2块,第二天吃3块,第三天吃1块,第四天吃2块,第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能,根据乘法原理,不同的加线方法共有29=512(种)。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法,所以不同的吃法共有512种。
练习19
1.有五顶不同的帽子,两件不同的上衣,三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问:有多少种不同的装束?
2.四角号码字典,用4个数码表示一个汉字。小王自编一个“密码本”,用3个数码(可取重复数字)表示一个汉字,例如,用“011”代表汉字“车”。问:小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字?
3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”?
4.在右图的方格纸中放两枚棋子,要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问:共有多少种不同的放法?
5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个(不能同时评一个班),共有多少种不同的评选结果?
6.甲组有6人,乙组有8人,丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议,共有多少种不同选法?
7.用四种颜色给右图的五块区域染色,要求每块区域染一种颜色,相邻的区域染不同的颜色。问:共有多少种不同的染色方法?
8.504有多少个不同的约数?
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