今天的主角呢，叫做悬链线（Catenary）。
悬链线是一种数学曲线，和抛物线，双曲线啥啥的一样，指的是特定的一系列函数的曲线。
啥是悬链线？
在生活中，你是否观察过一根两端固定自由下垂的绳子？
当然了没人会没事儿盯着绳子看半天的
但是它们在生活中实在是太常见了：
这么常见的东西到底真正上是个什么形状呢？
于是就有人提出了这个数学问题，
这个人生于1952年，他叫列奥纳多·迪·皮耶罗·达·芬奇。
那是在他还没有成为四个忍者神龟之一的年代，
他开始了《抱银貂的女人》的创作。
大家也看到了，画中的女人全身唯一的装饰就是脖子上的项链了，所以项链最能衬托出女人的美丽，
当他要画这个项链的时候，便十分好奇，最自然状态下的项链是什么形状的？怎么画才能看起来更真实？
于是乎他向全世界发出了这个问题：
“万能的朋友圈啊，两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂，所形成的是什么曲线？在线等挺急的”
“观察两端固定而下垂的绳子是怎样一种体验？”
“【学术向】求大神这个怎么解啊（一楼喂度娘）”
在微信，知乎，百度贴吧三大平台均询问无果之后，达芬奇本人也做了大量的计算，但不幸的是，他还没有算出答案，就挂了。
其实每个人看到这个曲线的第一反应都觉得这是一个开口朝上的二次函数，它也确实很像，但是我们也知道嘛，和二次函数像的方程太多了——如果你看到了一条直线，那它一定是一次函数，但是你“以为”看到了抛物线，那就不一定是啥玩意儿了。
伽利略也预测过悬链线是抛物线，嗯，反正是预测嘛，我就话先放这儿，说不定过了几百年后人发现我的预测是对的呢，那样他们就会说“xxx好厉害啊几百年之前就做出了精准的预测！” 如果证明预测错了呢，反正我都死好几百年了你来打我啊。
多年之后，由荷兰物理学家惠更斯证明了悬链线一定不是二次函数，但是他也不知道是什么。
几十年之后，提出“伯努利方程”的雅各布·伯努利再次提出了对悬链线方程问题的研究，
在这位久负盛名的大数学家日夜奋斗，与这道难题整整搏斗了一年多之后，
终于，功夫不负有心人，
他的弟弟约翰·伯努利一个晚上就解开了这个方程。lol
建模
好那下面我们就来看一下悬链线的方程是怎么一步一步被揭开神秘的面纱的
首先先画一个悬链线，条件就仨，
1、两端固定
2、密度分布均匀
3、自由下垂
先来建立一个直角坐标系，原点选在哪里都无所谓是吧，那我就为了简单点儿让y(x=0) = 0 了。
重新画一遍，左右应该是对称的凑活看吧
那我们不妨取其中一小段，同样为了好算，我让我取的绳子的左端就在(0,0)点。
然后对这一段绳子做受力分析，不难看出这段绳受三个力，
1、绳左端所有绳对它的拉力，作用在最左端
2、绳右端所有绳对它的拉力，作用在最右端
3、绳自身的重力，因为绳密度均匀作用在绳长度一半的地方
ρ是绳子的线密度，单位是kg/m
说明：
1、F1和F2按道理说是可能为拉力也可能为左右段绳子的重力造成的推力的，但是从受力分析的角度来看他俩必须同时是拉力才能平衡。
2、绳有重量，F1不总等于F2
好，到现在，建模就算是完成了，开始算。
公式推导
先对整体做受力分析
于是这个问题到这里就解决了
求出了悬链线方程的表达式
那学过双曲三角函数的人就问了啊，
“这不明显是sinh和cosh嘛，为啥还那么麻烦积分一遍？sinh积分是cosh啊大学生都知道啊”
但是关键就在于：当时还没有双曲三角函数
人们就发现了一个有趣的事情: y(x)和它的求导长得十分的像啊，而且y的二阶导和y又非常的像啊。
这种规律马上就令人不得不想到了熟知的三角函数，sin求导是cos，cos求导是-sin，于是把这两个“类sin”和“类cos”求出“类tan”，“类cot”，“类sec”，“类csc”之后发现竟然和三角函数的性质及其相似，只在有些地方正负号不同。
那既然性质和三角函数这么像，那干脆给他们起个新的名字好了！于是就叫做cosh，sinh，tanh，blablablabla……h代表hyperbolic，双曲，所以三角函数的符号+双曲=双曲三角函数。
boom
双曲三角函数就这么诞生了。
所以重新改写一下悬链线的表达式，（感谢李昕宇的指导）
仔细观察的话会发现，公式中随着x的变化，密度rou和重力加速度g是永远不变的，一段绳子左端的力F1是随x变化而变化的，所以继续改写一下
F1(x)中出现了绳长L，L的大小就是和研究的那段绳子左端横坐标a和右端横坐标b有关系了。
结论、小结与悬链线的实际应用
所以，悬链线的函数是双曲三角函数。或者更准确地说，双曲三角函数的图象是悬链线
- 双曲三角函数的发现和定义是起源于数学家们对悬链线方程的探究
- 悬链线方程问题最早由达芬奇提出，由惠更斯证明了并不是开口冲上的抛物线
- 由约翰·伯努利最终解决
- 当一个柔软的可自由形变的物体仅受重力的时候，最自然形成的状态是悬链线，在此形状下，各部分重力势能最小。重力势能最小，就最稳定，如果倒塌的话造成的伤害也最小，这对于设计建筑结构起了很大的帮助作用
- 日本2011年3月1日，“东日本大地震”中许多建筑由于悬链线的设计而幸免于倒塌
- 坐落在密西西比河畔的圣路易斯拱门就是双曲余弦的形状（感谢王宇杰提供信息）
- 双曲正切用来描述理想波浪的曲线（感谢王宇杰提供图片）
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