关键词:受弯 变形 应变
构件受弯变形,一般影响的是结构的使用功能。
你比方说悬挑露天阳台的端部竖向位移。
有时候为了防止挠度过大,会要求施工时设置预起拱先形成向内的坡度,然后靠阳台服役期间的荷载将预起拱“压平”或保持一定的向外坡度,有利于雨水排放。
但是如果预起拱过大,荷载不足以将其压平,就很容易发生雨水倒灌,如图1所示。
图1 阳台雨水倒灌
因此,能否准确计算构件的变形,有时会关系到人们的使用体验。
关于这个例子的计算问题,小编两个月前有聊过,请移步拙文:追本溯源——如何计算集中荷载作用下悬挑构件任意部位挠度?需要说明的是,小编的那篇帖子计算方法仅供参考。在实际项目中,阳台的变形计算还要参考相关标准计算构件的实际刚度,但是原理与此是相通的。
记得在那篇帖子里,有一个公式1:
1/ρ=M(x)/EI 公式1
可以这么说,它是分析所有构件受弯变形的基础。
今天,小编就深入聊聊这个话题——从应变角度分析构件受弯变形。
从应变角度理解构件受弯变形
在“谈一谈构件在弯矩作用下的受力分析”里,咱们说过,图2所显示的受弯构件的上侧AB段受压变短,下侧A'B'受拉变长,那么二者之间必有一段既不受拉变长也不受压变短——长度变化为0,这样的线段所在面被称为构件的“中性面”,中性面与截面的交线被称为“中性轴”。
图2 构件受弯变形
这个既不受拉变长也不受压变短的线(实际为面)就是图3(左)中的DE,这个中性轴就是图3(右)中的z轴。那么构件在受弯变形过程中,始终没有发生变形的是y轴与z轴的交点O,那么我们自然要以O点作为分析变形时的基点。
图3 中性面与中性轴
公式1中的ρ,是图3所示的中性面所在处圆弧的半径。θ是圆弧所形成的夹角,而中性面上的DE长度没有发生变化——依然是构件原长度L。因此,有:
L=ρθ 公式2
此时,我们假定在DE之上、AB之下存在弧JK ,且其所在面距离中性轴距离为y,那么根据公式2可计算JK长度L':
L'=(ρ-y)θ 公式3
在构件受弯变形之前,JK长度其实也是L,那么由于构件受弯导致JK发生的长度变化为:
δ=L'-L=(ρ-y)θ-ρθ=-yθ 公式4
根据应变的定义,应变ε是构件长度变化量δ与构件原长度L之比,那么JK的应变为:
ε=δ/L=-yθ/ρθ=-y/ρ 公式5
这里的负号代表着构件此处受压变短。
很显然,构件受弯导致的最大变形取决于y的大小,而根据图3,y的最大值应该是在距离中性轴的c处,也就是构件上表面(这里仅以图2截面为例,其它类型截面在所不问)。
那么最大应变的就是:
ε=c/ρ 公式6
根据胡克定律(还不理解什么是胡克定律的小伙伴请移步:聊聊“胡克定律”本质——弹性模量),构件在弹性工作阶段弹性模量E=σ/ε。
再结合“谈一谈构件在弯矩作用下的受力分析”里面解释过的,构件长度方向(图1中x轴)任意一点处的弯矩M(x)所导致的此处的应力σ=M(x)c/I,把它俩代入公式6,可以得到:
1/ρ=M(x)/EI (公式7)
这就是公式1的来历。
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