数学新视野：用几何方法全面解读为什么所有自然数之和等于-1/12

为了更好的解答所有自然数之和1+2+3+4+......=-1/12这个由来已久的问题，我们从最简单的级数入手，首先引入一个优美的交错级数

如下是一个有关+1和-1交错出现的级数，现在要计算它的平方，如下图所示：

这是数学中的一个经典问题，为了能直观的表示出来，聪明的数学家用图形来演示，即每个小正方形的边长都等于1，所以这个交错级数就可以写成如下形式

根据一般的数学知识，第一个方格等于(+1)*(+1)=1，第二个方格等于(+1)*(-1)=-1.......按此原理一直延续下去就得到如下图所示的结果，每个小方格都对应一个数值，简单明了，这确实是一种高超的数学技巧：

最终得到的全部数值就是：

现在我们就来计算这些小方格的总和，这同样是一个棘手的问题，怎么看都没有规律可循

不用着急，这里一步一步给你演示：上图所示，我们把它们统统归类，一种颜色表示一类，每一类正好位于斜对角线上，然后将相同颜色对应的数值加起来，你会发现它们的总和就是：1-2+3-4+..........,正好等于1-1+1-1....交错级数的平方，如下图所示

我们这里又回到了1-1+1-1+1+....这个问题，它就等于1/2，为什么呢？继续往下看

这里用到了无穷级数的收敛规则，也许你常常会看到1+r+r^2+r^3+r^4+.......=1/(1-r)的级数形式，这在数学中称之为几何级数，它是数学中非常常见的，也是最简单的一类级数

但上述几何级数的成立必须满足条件：-1<r<1 但-1+1-1+1-......这个级数貌似并不满足这个条件，因为在这里r=-1，不在这个区间内，因为它正好处于区间的边界线上

但对于处于该收敛区间-1<r<1 下的级数，都是成立的，如下图

在这里r=-1，我们可以概率性的计算下处于临界状态下的有关+1和-1的交错级数，所以最终得到1-1+1-1+1-1.....=1/2

所以由此就可以得到1-2+3-4+.......=1/4，因为它等于(1/2)^2，根据这个结论，我们还可以得到数学中著名的1+2+3+4+......=-1/12，它是怎么来的呢？

我们可以先将此问题延伸下，假设C=1+2+3+4+5+........,那么4c就等于：

我们经过一系列简单的数学变换，得到如下图c-4c=-3c=1-2+3-4+........

根据前面已有的结论，我们就得到c=-1/12