老子是中国最著名的思想家，以所著《道德经》一书闻名天下。《道德经》虽然只有五千余字，但却形成了一个完整的哲学体系，也成就了道教学说最基本的理论架构。后世对《道德经》的研究往往集中在哲学和宗教两个领域，几乎没有人意识到它在自然科学中的价值。今天我们就来谈谈《道德经》中的数学，谈谈老子这位当之无愧的数学家是如何运用公里体系来构建《道德经》的理论基础的。
“公理体系”又称“公理化方法”，在西方最早出现在两千多年前的欧几里德几何学中。这个年代与老子《道德经》的成书时间大致相仿。“公理体系”是一组基本假设，其合理性是一致公认的，所以无需加以证明。某一理论的“公理体系”是该理论的全部基础，以至于该理论的一切结论都可以从“公理体系”推断得出。构成“公理体系”的一组基础假设必须满足三大要求：（1）相容性，即这些假设彼此不发生冲突；（2）独立性，即这些假设中的任一条件不能通过其它假设得到；（3）完备性，即整个理论不会涉及超越它们的其它假设。
老子哲学思想的一个显著特征就是用整体看世界，要看到看不见的东西。人生活在一个“相对世界”，相对世界中的一切事物既有名称又有物象，因为相对世界的命名就是通过将名称与物象一一对应而得到的。相对世界的事物是不断运动变化的，并且人们能感受到存在着某些规律支配这种运动变化。老子认为这些规律就是所谓看不见的东西，属于另一个世界，即“绝对世界”。绝对世界中一切名称是没有物象与之对应的。老子认为，人们只能看见“相对世界”的东西，但要看懂“相对世界”就必须研究“绝对世界”；“绝对世界”和“相对世界”是一个整体的两个方面，必须完整地加以把握才能够正真认识“相对世界”。这便是老子的“用整体看世界”。
老子哲学最核心的思想就是将世界划分成了绝对世界和相对世界，并建立起了彼此之间的联系。“道”是老子对“绝对世界”的命名，两者的含义完全相同。老子哲学的第一块基石就是“存在性原理”，即绝对世界是真实存在的（道是真实存在的）。进一步，老子就绝对世界与相对世界的关系提出了三大假设，构成了老子哲学的第二块基石，我们称之为“主从性原理”：一、绝对世界是相对世界的本原，即相对世界产生于绝对世界；二、绝对世界主宰相对世界的规律，即相对世界的一切变化发展规律来源于绝对世界，相对世界只能遵循而无法改变这些规律；三、绝对世界是相对世界认知的极限，即人对绝对世界的认知是一个渐进的极限过程，可以不断完善，无限逼近，但永远无法最终抵达绝对世界。“存在性原理”和“主从性原理”奠定了老子哲学的逻辑基础，是老子理论的“公理体系”。有兴趣的读者不妨自己验证，它满足决定公理体系的三大要素。
老子的公理体系与欧几里德的公理体系有着本质的区别。老子的公理体系引进了一个可以认知但不可验证的“绝对世界”。这一结论来自“主从性原理”的第三条“绝对世界是相对世界认知的极限”。（人们可能已经注意到，这一假设本身就是“极限理论”的具体表述。我们将在后续的系列中看到，《道德经》中的“玄德”、“玄览”、“玄同”等概念本质上都是极限理论的另一种表述。）绝对世界的不可验证性不仅是老子公理体系区别于欧几里德公理体系的关键，也是老子哲学区别于现代科学的本质所在。为了能够正确领会老子哲学的真实内涵，我们强调“存在性原理”的完整表述应该包括两层内涵：一、绝对世界是真实存在的（道是真实存在的），这是老子假设赋予的第一层内涵；二、人无法用实证法来验证这种存在性，这是“主从性原理”蕴含的第二层内涵。“道”真实存在但无法验证才是老子“存在性原理”的全部内涵。我们在此特别强调无法验证这一属性，是为了避免可能出现的将《道德经》神化。
“主从性原理”的第二条假设“绝对世界主宰相对世界的规律”具有极其深刻的社会价值内涵。首先，它告诉我们“道”是相对世界的主宰，是一切自然规律的体现，于是一切行为必须遵循道的法则，任何背道而驰都是徒劳的和无益的。这就派生出了人类社会的行为准则。其次，道的唯一性又派生出标准的唯一性，于是任何价值判断都有明确的对与错，即价值判断的一致性。价值判断的一致性和行为准则的唯一性是中华文明的显著标志，在老子理论中它们都来自“主从性原理”的第二假设，即绝对世界的主导作用。当然，绝对世界的存在性始终是一个先决条件。
必须强调的是，“存在性原理”和“主从性原理”是一组假设，这些假设中的条件并不是不可以用其它条件来替换的。然而，一旦推翻其中任何一条假设，我们就脱离了老子的哲学体系而进入到一个新的体系。类似于一旦我们否定了欧几里德的平行公理，就可能进入了黎曼空间。这里特别值得一提的是，老子哲学所决定的价值判断一致性和行为准则唯一性，或许正是华夏文明与西方文明最深成层次的差异所在。很明显，一旦否定了绝对世界（道）的存在性，绝对世界与相对世界的主从关系也就不复存在，价值判断的唯一性也自然随之丧失。比如，我们可以放弃老子的“存在性原理”，认为绝对世界（道）是不存在的。取而代之以“封闭性原理”，即相对世界是封闭的和自循环的。“封闭性原理”要求相对世界的本原也必然源自相对世界，主导相对世界的任何规律也必须属于相对世界，而人们对这些规律的认识依然可以是一个极限过程，这些假设是自洽的，并不互相冲突。有趣的是，在这个遵循“封闭性原理”的体系中，一切都是相对的，不存在绝对的标准，社会价值判断也随之变成了相对的，没有明确的对与错。多元化标准派生出多元社会，而多元社会的集体述求又必然反过来要就树立一个筛选多元标准的选择性原则。不难发现，这种哲学体系所对应的社会形态就与古希腊文明非常相似，那里古希人用少数服从多数决定了选择性原则，用民主投票代替了权威政治，用事实证明遵循“封闭性原理”的哲学体系不仅是理论，而且在实践中也是切实可行的。于是，人类文明在两千多年前开启了不同的征程，直到今天，彼此之间的差异仍然难以完全融合。
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