多题一解 益处多多

山东省夏津一中   徐庆明  邮编 253200

在数学解题的训练中，一题多解和多题一解是两种常用的训练模式。经常进行这样的训练，可提高学生的发散思维能力，增进学生思维的深刻性，对学生思维品质的提高很有帮助。一题多解的例子比较多，本文主要从多题一解的方面举几个例子。

例1 在直线l：x+y-4=0上求一点M，使它到A(1,2)、 B(-1,3)的距离之和最小。

分析：（1）首先判断是在直线的同侧还是异侧。

     （2）若在同侧，先求出A（或B）关于L的对称点A’（B’），再求直线A’B(AB’)所在的直线方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。

     （3）若在异侧，只需求出AB所在直线的方程，与已知直线方程联立，求出M点坐标。

解：令f(x,y)=x+y-4，f(1,2)=1+2-4=-1<0,f(-1,3)= -1+3-4=-2<0.

   所以A、B在直线同侧。

设A关于l的对称点为A’（x₁,x₂）则由方程组

   得： x₁=2,y₁=3

所以A’（2，3） 所以A’B的方程为 y=3 由

y=3

x+y-4=0   得x=1,y=3

所以 M(1,3) 为所求的点。

A’

A

o

x

y

2． 光线从A（0，1）发出，射到x轴上M点，经反射后射到圆C: 上，求光线经过的最短距离。

分析：求出点A关于轴的对称点A’，这个最短距离可转化为A’到圆C的最短距离。即A’C减去圆的半径。由A’C的方程，可得M点坐标。具体解题过程同学们自己完成。

 

3． 求 的最小值。

分析：这道题目用代数的方法来解决也比较困难。考虑到根号内的部分非常接近两点间的距离公式可如下整理、变形：

看作点(x,0)到点(1,1) (2,2)的距离之和最小问题。由于点(1,1)、 (2,2)在x轴同侧，可求(1,1)关于x轴的对称点(1,-1)，那么(1,-1)与(2,2)之间的距离即为 的最小值。具体解题过程请同学们自己完成。

4． 已知 直线点 、 ，在 上取一点M,过M以 、 为焦点作椭圆，问M在何处时椭圆的长轴最短，并求出此时椭圆的方程。

分析：由题意，即在直线上求作一点M，使 最小，仿照例1做即可。

以上四道题目，所使用的方法是一样的。通过多题一解的训练，领会同一数学思想、数学方法在不同题目背景下的不同体现，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提高。希望同学们在数学学习的过程中多做这样的练习，多思考、多总结,数学能力一定会有很大的提高。