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1 原理简介

微分方程可以写成2部分：

第一部分满足初始和边界条件并包含不可调节参数
第二部分不会影响第一部分，这部分涉及前馈神经网络，包含可调节参数(权重)。

因此在构建微分方程的函数时，要满足上述两个条件，今天就来简单看下。

假设存在以下微分方程：

上述微分方程f对应着一个函数u(t)，同时满足初始条件u(0)=u_0，为此可以令：

则NN(t)的导数为：

根据以上等式，NN(t)的导数近似于：

可以把上式转换成损失函数：

简而言之，就是已知微分函数，然后用神经网络去拟合该微分函数的原函数，然后用微分公式作为损失函数去逼近原微分函数。

微分公式：

此外，还需要将初始条件考虑进去：

上述并不是一个好的方法，损失项越多会影响稳定性。为此会定义一个新函数，该函数要满足初始条件同时是t的函数：

则损失函数为：

注意，神经微分网络目前主要是去近似一些简单的微分函数，复杂的比较消耗时间以及需要高算力。

2 实践

假设存在下述微分函数和网络：

import tensorflow as tfimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npnp.random.seed(123)tf.random.set_seed(123)'''微分初始条件以及相应参数定义'''f0 = 1 # 初始条件 u(0)=1# 用于神经网络求导,无限小的小数inf_s = np.sqrt(np.finfo(np.float32).eps) learning_rate = 0.01training_steps = 500batch_size = 100display_step = training_steps/10'''神经网络参数定义'''n_input = 1     # 输入维度n_hidden_1 = 32 # 第一层输出维度n_hidden_2 = 32 # 第二层输出维度n_output = 1    # 最后一层输出维度weights = {'h1': tf.Variable(tf.random.normal([n_input, n_hidden_1])),'h2': tf.Variable(tf.random.normal([n_hidden_1, n_hidden_2])),'out': tf.Variable(tf.random.normal([n_hidden_2, n_output]))}biases = {'b1': tf.Variable(tf.random.normal([n_hidden_1])),'b2': tf.Variable(tf.random.normal([n_hidden_2])),'out': tf.Variable(tf.random.normal([n_output]))}'''优化器'''optimizer = tf.optimizers.SGD(learning_rate)'''定义模型和损失函数''''''多层感知机'''def multilayer_perceptron(x):  x = np.array([[[x]]],  dtype='float32')  layer_1 = tf.add(tf.matmul(x, weights['h1']), biases['b1'])  layer_1 = tf.nn.sigmoid(layer_1)  layer_2 = tf.add(tf.matmul(layer_1, weights['h2']), biases['b2'])  layer_2 = tf.nn.sigmoid(layer_2)  output = tf.matmul(layer_2, weights['out']) + biases['out']  return output'''近似原函数'''def g(x):  return x * multilayer_perceptron(x) + f0'''微分函数'''def f(x):  return 2*x'''定义损失函数逼近导数'''def custom_loss():  summation = []  # 注意这里，没有定义数据，根据函数中t的范围选取了10个点进行计算  for x in np.linspace(0,1,10):    dNN = (g(x+inf_s)-g(x))/inf_s    summation.append((dNN - f(x))**2)  return tf.reduce_mean(tf.abs(summation))'''训练函数'''def train_step():  with tf.GradientTape() as tape:    loss = custom_loss()  trainable_variables=list(weights.values())+list(biases.values())  gradients = tape.gradient(loss, trainable_variables)  optimizer.apply_gradients(zip(gradients, trainable_variables))'''训练模型'''for i in range(training_steps):  train_step()  if i % display_step == 0:    print('loss: %f ' % (custom_loss()))'''绘图'''from matplotlib.pyplot import figurefigure(figsize=(10,10))# True Solution (found analitically)def true_solution(x):  return x**2 + 1  X = np.linspace(0, 1, 100)result = []for i in X:  result.append(g(i).numpy()[0][0][0])  S = true_solution(X)plt.plot(X, S, label='Original Function')plt.plot(X, result, label='Neural Net Approximation')plt.legend(loc=2, prop={'size': 20})plt.show()

参考：
https://towardsdatascience.com/using-neural-networks-to-solve-ordinary-differential-equations-a7806de99cdd

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