前段时间刚做了做网站，制作过网站的读者会知道SSL证书这个东西，有了这个证书，通信协议就由超文本传输协议HTTP变成了安全套接字层超文本传输协议HTTPS，HTTPS协议中浏览器和服务器之间的数据传输是加密的，如果他人用抓包工具获得了数据那也是密文，从而保证了通信的安全性。通信的安全性建立在密码系统上，RSA是主流的密码系统，而RSA的安全性又依赖于大数分解的困难性，即一个较大的数分解为素因子之积，所以在这里经典而古老的数论和前沿的科技领域有了一次交融。
在系统地介绍密码学的整个图景之前，这篇文章旨在让你快速了解RAS的密码系统的加密和解密方法，以及它是如何保证在几十年甚至几百年密码不可破解。密码学的发展经过了分组密码、流密码，直到20世纪70年代，一种新型的密码出现了，它就是公钥密码。它有两个密钥，其中加密密钥即公钥是公开的，解密密钥即私钥只自己保存。例如若A想给B传递数据，B将公钥公开给所有人，A用B的公钥给数据加密后传递给B，B用私钥解密后获得明文。其他人尽管知道加密密钥也无法解密，因为加密密钥和解密密钥是分开的，这就是公钥密码系统的优势。在传统的私钥密码系统中，加密密钥和解密密钥是相同的或者彼此能互相推导出来，那么如何保证密钥的安全性是一个重大问题，要让对方能解密就必须告知对方密钥，密钥若被其他人截获，那么密码就被破解了。
RSA密码系统诞生在20世纪70年代，加密密钥由正整数对（e,n）组成，其中 n=pq, p与q是两个大素数，而且要保证（e,Φ(n)）=1,也就是 e和Φ(n)互质，Φ(n)是n的欧拉函数。加密信息的第一步是将语言符号转化为数字，例如如果是英文，可以将字母编码，从A到Z，对应数字00到25，如果是汉字，也可以对汉字进行编码，由一串语言符号得到一串数字，然后将数据分组，例如4个数字为一组，就得到了数据组。下面对明文数据组P进行加密，生成密文数据组C。
解密实际上就是找到加密变换E的逆变换，（d,n）是解密密钥，其中d是e模Φ(n)的逆。由于e和Φ(n)互质，根据初等数论里的定理，知d是存在的。现在证明解密变换就是：
现在举例，将“I like math”加密，首先将语言字符转换为数字，即081108100412001907，一共18个数字，使4个数据为一组，则转换为数据组0811，0810，0412，0019，0700，其中最后一组加上00凑成四位数。取加密密钥（e,n）=（13,59*61）=（13，3599），当然在实际应用中，n是非常大的，这样才使得对n的分解质因数非常困难，组成n的两个质数一般会取到100位的数。现在我们对数据进行加密。
这样0811加密后就变为1837，其余4组数据都按照该过程加密，0810对应的密文是0401，0412对应的密文是2241，0019对应的密文是0293，0700对应的密文是3384，密文数据就是1837 0401 2241 0293 3384，于是“I like math”加密后的密文就是1837 0401 2241 0293 3384。现在尝试通过解密密钥解密，看能否得到明文。
由于d是e模Φ(n)的逆,Φ(n)=Φ(59*61)=58*60=3480,所以d就是满足下面同余方程的解：
于是我们得到解密密钥（2677,3599），用它对1837 0401 2241 0293 3384解密。现在用解密密钥对1837 进行解密。
恰好是明文的数据0811，0811转换成语言字符即 IL ,其他的数据段解密过程相同。公钥密码系统的优势就是你无法从加密密钥推出解密密钥，在RSA里，解密密钥的d是由两个素数推导得来的，而加密密钥中只给出了两个素数的积n,将一个很大的数素数分解是非常困难的，如果两个素数是一百位，那么n就是两百位，对它分解素数用当前计算机耗时也要百万年，所以RSA的安全性即依赖于大数分解的困难性。
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