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之前我们了解了行列式,知道行列式的行和列都是相等的。
例如:2阶行列式有2行2列,3阶行列式有3行3列……n阶行列式有n行n列
那么矩阵又是怎么样的呢?并且矩阵到底讲了什么?我们需要学哪些知识点?我们往下看:
简单理解,所谓矩阵就是由一组数的全体,在小括号或者中括号内排列成m行n列(横称行,竖称列)的一个数表,并称它为m×n阵。
首先我们了解一下矩阵的来源:矩阵的概念是19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵最早是解决什么问题:矩阵最早来自于方程组的系数及常数构成的方阵,所以说矩阵最早主要是为了解决线性方程组问题。
直到后面社会的不断进步,科学技术的不断发展以及社会经济的进步,矩阵也运用到了各个领域。
例如:在电路与电子、图像处理、计算机图形学、量子力学、排名算法等,都是矩阵广泛应用的领域。
我们再来看一下,矩阵到底要学什么?
例如:线性方程组和矩阵,矩阵的运算(今天讲解),逆矩阵,克莱姆法则,分块矩阵。(下节课讲解)我们根据这几类去进行了解矩阵的知识点。
第一:线性方程组
概念:设有n个未知数m个方程的线性方程组为
其中X1,X2,……Xn表示线性方程组有n个未知数。aij表示第i个方程第j个未知数的系数,bi是第i个方程的常数项。(i=1,2,…,m。j=1,2,…,n)。
其中b1,b2,…,bm称为方程组的常数项,常数项全为零时,称为齐次线性方程组,常数项不全为零时,称为非齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组的解有两种,一种是X全为零的解称为零解,一种是X不全为零的解,称为非零解。
非齐次线性方程组的解主要有三种,一种是有唯一解,一种是无解,另一种是有无穷多解。
所以说,线性方程组的研究内容,主要是是否有解,有解时,是否是唯一的,如果有多个解,应该怎么求出所有的解。
这些问题都取决于方程组m×n个系数aij与常数项b1,b2,…,bm所构成的m行,n+1列的矩形数表。
并且我们在取矩阵表时有两种情况,一种是系数表,一种系数与常数合一起的增广表。
如下我们称为系数矩阵表。
当加了常数项时,我们称该矩阵表为增广矩阵。
对于n元线性方程组的求解,我们都是通过矩阵表进行化简,然后求解。
第二:矩阵的运算《加法运算》
定义:若有两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij),那么矩阵A与B的和(+)记作A+B,此时规定:
注意:矩阵的加法运算中,只有同型矩阵才能进行加法运算。
矩阵的加法运算中,要满足一定运算规律:
设A,B,C是同型矩阵,在数的运算中,a,b,c是任意实数。那么满足
交换律:A+B=B+A
结合律:A+B+C=A+(B+C)
注意:如果矩阵A和矩阵B的行数和列数都相同,那么我们就称矩阵A和矩阵B是同型矩阵。
负矩阵:如果有矩阵A=(aij)。那么-A=(-aij)称为矩阵A的负矩阵。
并且有A+(-A)=0,A+(-B)=A-B
矩阵的运算(数乘运算)
定义:数λ与矩阵A的乘积(×)记作 λA(Aλ),此时规定运算如下:
注意:矩阵里面数与矩阵的乘法运算是,数和矩阵的每一项都要作乘积,数与行列式的乘法运算是,数和行列式的某行或者某列进行乘积运算。
矩阵的数乘运算中,要满足一定运算规律:
设λ,μ均是数,矩阵A与矩阵B是同型矩阵,那么满足:
结合律:(λμ)A=λ(μA)
分配律:(λ+μ)A=λA+μA,λ(A+B)=λA+λB
注意:以上数乘运算,我们统称为矩阵的线性运算。
矩阵的运算(矩阵与矩阵相乘)
定义:设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,此时规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵,矩阵C=AB=(cij)m×n 。
注意:在矩阵的乘法运算中,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,此时两个矩阵才能相乘。
还有就是,我们在进行矩阵乘法计算时,一般不满足交换律。其次当矩阵A≠0,矩阵B≠0,却有矩阵AB=0 。既不能根据矩阵AB=0,推导出矩阵A=0或者矩阵B=0这个结论。
矩阵乘法运算规律:
乘法结合律:(AB)C=A(BC)
数乘及乘法的结合律:
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
乘法分配律:A(B+C)=AB+AC;
乘法分配律:(B+C)A=BA+CA;
单位矩阵:EmAm×n=Am×nEn=A
除了以上四种情况以外,还有一种情况需要我们留意,矩阵的幂:
当矩阵A与矩阵B满足交换律时,那么以下运算可以成立:
矩阵的转置:主要是将横行换成竖列进行转换,从而得到新的矩阵表。
转置矩阵在运算中,也是需要注意诸多运算性质:
这些性质,在转置矩阵的运算中,都是很重要的。
今天的矩阵问题就讲到这里,欢迎留言讨论。
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