目录
第一章数学思想概述
1.1对数学思想重要性的认识渐趋深刻…………………………………1
1.1.1经验的总结………………………………………………………1
1.1.2现实的需要………………………………………………………1
1.1.3认知的实现………………………………………………………2
1.2大力加强对数学思想的探讨…………………………………………3
1.2.1思想和数学思想…………………………………………………4
1.2.2数学思想与科学思想……………………………………………4
1.2.3历史上数学思想的几次重大突破与中学数学教材内容的阶段
性转折……………………………………………………………5
1.2.4数学思想中的基本数学思想…………………………………10
1.2.5思路、思绪、思考和意识(观念)………………………………11
1.2.6数学思想与数学方法的关系…………………………………12
思考题………………………………………………………………………13
第二章两大“基石"思想
2.1符号化与变元表示思想……………………………………………14
2.1.1换元思想………………………………………………………15
2.1.2方程思想………………………………………………………18
2.1.3参数思想………………………………………………………19
2.2集合思想……………………………………………………………21
2.2.1类分思想(并集思想)…………………………………………22
2.2.2求同思想(交集思想)…………………………………………25
2.2.3互补思想(补集思想)…………………………………………26
思考题………………………………………………………………………26
思考题参考解答……………………………………………………………27
第三章两大“支柱"思想
3.1对应思想……………………………………………………………29
3.1.1映射思想………………………………………………………29 1
3.1.2函数思想………………………………………………………30 I
3.1.3变换思想………………………………………一
3.1.4对称思想………………………………………一
3.1.5递归思想………………………………………~
3.1.6数形结合思想…………………………………··
3.2公理化与结构思想…………………………………~
3.2.1公理化思想……………………………………
3.2.2演绎思想………………………………………-·
3.2.3归纳思想………………………………………··
3.2.4类比思想………………………………………··
3.2.5结构思想………………………………………-·
3.2.6极限思想………………………………………··
3.2.7模型思想………………………………………一.
思考题………………………………………………………-·
思考题参考解答……………………………………………-·
第四章两大“主梁”思想
4.1系统与统计思想(一)………………………………··
4.1.1系统思想………………………………………··
4.1.2整体思想………………………………………--
4.1.3分解组合思想…………………………………-.
4.1.4运动变化思想…………………………………··
4.1.5最优化思想……………………………………-.
4.2系统与统计思想(二)………………………………-·
4.2.1统计思想………………………………………·
4.2.2随机思想………………………………………·-
4.2.3统计调查思想…………………………………··
4.2.4假设检验思想…………………………………..
4.2.5量化思想……………………………………….-
4.3化归与辩证思想(一)………………………………-·
4.3.1化归思想………………………………………··
4.3.2纵向化归………………………………………-.
4.3.3横向化归………………………………………-.
4.3.4同向化归……………………………………….·
4.3.5逆向化归……………………………………….-
4.4化归与辩证思想(二)……………………………….·
4.4.1辩证思想………………………………………··
4.4.2对立统一思想…………………………………··
4.4.3互变思想………………………………………-·
4.4.4转换思想………………………………………..
4.4.5一分为二思想……………………………………-
思考题………………………………………………………-
思考题参考解答……………………………………………-
第五章数学思想的运用与领悟
5.1集合问题……………………………………………………………106
5.1.1学习集合应注意的几个问题——符号化与变元表示思想的
运用……………………………………………………………106
5.1.2集合的图形表示及应用——数形结合思想的运用…………10 7
5.1.3关注集合元素的特征——符号化与变元表示思想的运用
·················-·…·-·······…·…·…··-·-···-··-····---·---·-…-…109
5.1.4重视空集的特殊性和重要作用——一分为二思想的运用
···-··············-·········-···········-···--········-··…·····--··……110
5.1.5反面求解——补集思想的运用………………………………111
5.2简易逻辑与推理问题………………………………………………113
5.2.1逻辑联结词与真假命题的集合语言表示——结构思想的运用
-··-······---····…·-··………···…··…·……·-·-··--·····…·-…-·-113
5.2.2用集合观点处理充要条件问题——集合思想的运用………115
5.2.3对数学归纳法的深入理解——递归思想的运用……………116
5.3函数问题……………………………………………………………118
5.3.1 映射、函数等概念的正确把握——特殊与一般转换思想的
运用…………………………………………………………··118
5.3.2函数的单调区间及单调性的应用——模型思想的运用……119
5.3.3指数函数、对数函数的单调性及应用——类分思想的运用
-·--···-·-·-··--…-·········……-…·-…--…·-·…·………-…···-一121
5.3.4幂函数、指数函数、对数函数的参变量漫谈——运动变化思想
的运用…………………………………………………………122
5.3.5从反函数的定义谈起——对应思想的运用…………………124
5.3.6函数奇偶性的判定与应用——符号化变元表示思想的运用
··--···········-·······-…···-··…·……·…………………………126
5.3.7关于对称问题的求解——对称思想的运用…………………129
5.4三角问题……………………………………………………………131
5.4.1对角的概念推广与符号表示的深刻认识——符号化与变元
表示思想的运用………………………………………………131
5.4.2弧度制及应用——对应思想的运用…………………………132
5.4.3诱导公式的新概括——符号化与变元表示思想的运用……134
5.4.4函数y=Asin(ωχ+φ)的图象——变换思想的运用………135
5.4.5单位圆的应用——数形结合思想的运用……………………138
5.4.6三角函数的性质及应用——特殊与一般转换思想的运用
-·····--··-···…--·--···-····…-·····-·…·……-·………··-……·…141
5.4.7角的代换与变换——化归思想的运用………………………143
5.4.8三角式余弦定理——特殊与一般转换思想的运用…………146
5.4.9弦函数的“平方差”公式——整体思想的运用………………148
5.4.10三角中的三倍角公式——变换思想的运用………………149
5.4.11余弦定理的简单应用——转换思想的运用………………151
5.5立体几何问题………………………………………………………15¨
5.5.1平面的属性与描述——符号化与变元表示思想的运用……153
5.5.2公理3的三个推论的证明——公理化思想的运用…………155
5.5.3空间直线位置关系的识别与证明——类分思想的运用……156
5.5.4线面垂直判定定理的证明——转化思想的运用……………158
5.5.5直线和平面所成的角及其求解——转化思想的运用………159
5.5.6平面与平面平行、垂直的判定与性质——归纳思想的运用
…..…….………………..……-..-……·-·……···………·-·…161
5.5.7二面角的求解方法——归纳思想的运用……………………163
5.5.8立体几何求解题的规范化表述——最优化思想的运用……165