我是中考数学当百荟,从事初中数学教学三十多年。说到“频率”与“概率”的关系,首先要了解初中数学中基本的统计思想:用样本估计总体,用频率估计概率;其次,要知道数学试验的统计量:频率=频数/总次数。频率是通过试验得到的统计量,而概率是通过建立数学模型,计算得到的理论值。在一定的情况下,可以用频率去估计(代替)事件发生的概率。
统计中,通常通过调查的方式获取相关的统计量。调查通常有两种方式:普查和抽样调查。比如:第六次全国人口普查(2010年11月1日),就是在国家统一规定的时间内,按照统一的方法、统一的项目、统一的调查表和统一的标准时点,对全国人口普遍地、逐户逐人地进行的一次性调查登记。这次人口普查登记的全国总人口为1,339,724,852人这个数据采用的就是普查方式得到的。而国家统计局每季度发布的居民人均可支配收入、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标,是采用抽样调查方式获取的。
当统计的总体容量很大,调查耗时费力,调查成本巨大或者试验具有破坏性时,不宜采用普查方式,就要用抽样的方式来进行统计,然后用样本的统计量,去估计总体统计量。这种统计思想就叫做用样本估计总体。
比如:某照明企业生产一批LED灯泡,为统计这批LED灯泡的使用寿命,采用哪种调查方式比较适合呢?因为要了解LED的使用寿命,按试验要求,就必须将LED灯泡变成“长明灯”,一直点亮直至自然熄灭(寿终正寝)。这样试验是具有破坏性的,显然不能用普查方式,只能采用抽样的方式来进行。从这批LED灯泡中,随机抽取50只灯泡作为一个样本,通过试验得到这个样本的平均使用寿命为3000小时,然后我们就说该企业的这批LED灯泡(总体)的使用寿命为3000小时。
俗话说,天有不测风云,人有旦夕祸福。这句话从数学的角度来理解就是,在自然界和人类社会中,严格确定的事件是十分有限的,而随机事件却是十分普遍的,概率就是对随机事件的一种数学的定量描述。它有助于我们更全面地认识随机事件,并对生活中的一些不确定情况作出决策。天气预报中,有一个指标叫降水概率。比如,某天降水的概率为2%,是指这天下雨的可能性很小,我们依据这个概率决策:出门可以不带伞。
但是,不是所有随机事件发生的概率都可以进行理论计算的,因而,随机事件发生的概率获取通常有两种方式:理论计算和试验估计。
在初中阶段,我们可以掌握的概率模型通常有三种类型:1.问题本身没有理论概率,只能通过试验模拟估计(比如,前面举例中,任取一个LED灯泡是次品的概率);2.虽然问题存在理论概率,但计算方法超出初中阶段学生的认知水平,只能通过试验模拟估计(比如,以任意三条线段为边,围成三角形的概率);3.问题是简单的古典概率模型,理论上容易求出概率(比如,掷骰子掷到1点的概率),但也可以通过试验来验证。
通过以上的分析知道,无论哪种概率模型的概率都可以通过试验模拟估计。以古典概型掷硬币试验为例,详细说明什么是用频率估计概率。随机掷硬币一次,只有两种可能:正面朝上或反面朝上,因而正面朝上的理论概率=0.5。其实,历史上有很多数学家都做过掷硬币试验,通过试验来验证这个理论概率。下面的图表是部分数学家试验得到的数据:
从以上图表可以知道,正面朝上的频率=正面朝上的次数/总次数。比如由上述图表可知,蒲丰共掷硬币4040次(总次数),其中正面朝上的次数2048,这个次数也称为频数,因而,正面朝上的频率=2048/4040≈0.506931。当试验的次数很大时,这个频率稳定在概率的理论值0.5附近。因而,我们可以用试验得到的正面朝上的频率去估计正面朝上的概率。需要说明的是,我们说这个频率稳定在理论值0.5附近,并不意味着试验次数越大,就越接近0.5。有可能随着试验次数的增大,试验得到的频率与理论概率的差距反而扩大了,出现这种情况本身也是一个随机事件,但稳定在理论值附近的趋势是改变不了的,因而我们完全可以用试验得到的频率去估计(代替)事件发生的概率,这种统计思想就叫做用频率估计概率。
下图是本人制作的计算机模拟投币试验:
蒙特卡罗方法是美国研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和计算机的发明者J.冯·诺伊曼首先提出。这种方法借用世界著名的赌城—摩纳哥的Monte Carlo(蒙特卡罗)命名,更增添了它的神秘色彩。蒙特卡罗方法,在现代金融工程、宏观经济、计算物理、核物理等领域都有广泛应用。其实,这种思想可以追溯到一个更早更著名的试验---《蒲丰投针试验》。1777年,法国数学家蒲丰提出用投针试验的方法求圆周率π,他的这种试验方法被认为是蒙特卡罗方法的起源。
蒲丰投针试验中,针与平行线相交的理论概率p是可以计算的,p=2l/πa,其中l是针长,a是平行线的间距,它们都是已知量,因而p可以求出。并且针与平行线相交的频率p1是可以通过试验得到的,因此借用频率估计概率的思想有p=p1,即p1=2l/πa,在这个试验中,我们感兴趣的不是概率和频率(这些都是已知量),而是圆周率!我们对圆周率的值到底是多少很感兴趣,为此,只要将p1=2l/πa变形,即可得到求圆周率π的计算公式:π=2l/p1a。
下图是历史上部分数学家通过投针试验,用频率估计概率思想,测得的圆周率的数据:
蒲丰投针试验求圆周率的方法,完全颠覆了我们对刘徽割圆术求圆周率的认知。只不过后来在此基础上发展起来的蒙特卡罗方法,是用计算机进行模拟试验,来测量我们感兴趣的事先未知的任何常数的值。
下图是本人制作的计算机模拟投针试验:
用样本估计总体,用频率估计概率是初中阶段必须具备的两个基本统计思想。诸如我们常常遇到有关概率统计类数学题目:掷骰子,翻牌游戏,转盘游戏,摸球游戏以及有关游戏公平性的问题,还有设计试验去估计生日相同的概率,池塘里有多少条鱼等等,都是借助这两个基本的统计思想建立数学模型,从而获得问题解决的。
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