第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何,立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点:
1.公式多,变换多,技巧多;
2.思想方法集中,特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想;
3.应用广泛,学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】 设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是 ( )
A.-2
【解答】 a2+2b2=6
a+b=
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换,利用三角函数的有界性破题.
【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x,则x2+y2的最大值是 .
【思考】 对于本题,以下解法并不鲜见;
由条件y2=3x-
∴x2+y2=x2+
∴当且仅当x=3时,(x2+y2)max =
先检验一下,如x=3,会有什么情况发生,将x=3代入已知条件,得:
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.
显然,我们得到了一个错误的等式,毛病在哪里呢?是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围,正确的解法是:
∵y2=3x-
令z=
zmax =
【评注】 本题若用三角代换,可以避开陷阱,达到八面玲珑.由条件得:
(x-1)2+
设
x2+y2=(1+cosθ)2+
由于cosθ∈[-1,1],故当cosθ=1时,(x2+y2)max =
此时,x=2,y=0.
【例3】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M,过M作直线l交抛物线于A
、B两点,求AB中点的轨迹方程.
【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p,交x轴于M(-p,0),
设过M的直线参数方程为:
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)
方程(1)有相异二实根的条件是:
设方程(1)之二根为t1,t2,则t1+t2=
设AB之中点为Q(x,y), ∵t=
∴
∵|cotθ|>1,∴|y|>2p,即所求AB中点的轨迹方程为:y2=2p(x+p)(|y|>2p).
【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式,在处理解析几何中直线与曲线的关系中,常起重要作用,由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时,必须用其标准式:
其中P(x0,y0)为定点,θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0,y0)所连有向线段的数量,若M在P上方则t>0,反之t<0.
【例4】 两圆O1与O2外离,其半径分别为r1,r2,直线AB分别交两圆于
A、C、D、B,且AC=DB,过A,B
【思考】 本例是平面几何题吗?
不是,谁要试图仅用平几知识证明,
肯定难以成功,但若引入三角,则不然.
【解答】 作两圆直径AF,BG,连
CF,DG,命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,
那么AC=2r1sinα,BD=2r2sinβ,
已知AC=BD,∴2r1sinα=2r2sinβ, 例4题图
△EAB中,由正弦定理:
【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧,A距铁路m千米,B距铁路n千米. 在铁路上要建造两个火车站C与D,并修两条公路AC与BD. A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C,然后用火车运至D,再用汽车运到冶炼厂B(如图所示)A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里,火车每小时行v公里(v>u),要使运输矿石的时间最短,火车站C、D应建在什么地方?
为了将问题简化,暂不考虑车站D,
设法求出从A经过C到B′所需最短时间.
【解答】 ∵AC=
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为 例5题图
t=
由于
∵y′=
sinA<
故函数y,从而函数t当sinA=
∵sinA=
同理,站D距B′为
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1已知方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ<
2设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0,求
3已知圆的方程是x2+y2=1,四边形PABQ为该圆内接梯形,底边AB为圆的直径且在x轴上,当梯形ABCD的周长l最大时,求P点的坐标及这个最大的周长.
4△ABC中,已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.
(Ⅰ)证明任意交换A、B、C位置y的值不变;
(Ⅱ)求y的最大值.
5.一条河宽1km,相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸,现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元,水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?
●参考答案
1由条件:
∴
已知S100=0,∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1,sinθ=
∵θ∈(π,
如图,
定点P(-1,0)连线的斜率,PA,PB为
圆C的切线,则
设∠BPC=∠APC=θ,则tanθ=
tan∠BPA=tan2θ=
⊙方程为x2+y2=1,∴设P(cosθ,sinθ)为
圆上一点,不妨设P在第一象限,
则有Q(-cosθ,sinθ).
∴|PQ|=2cosθ,Rt△PAB中∠PBA=
∴|BQ|=|PA|=|AB|sin
l=2+2cosθ+4sin
当且仅当sin
点P的坐标为
4(Ⅰ)y=2+cosC[cos (A-B) - cosC]
=2+cos C[cos (A-B)+cos (A+B)]=2+2cos Acos BcosC
此为关于A、B、C的对称轮换式,故任意交换A、B、C的位置,y的值不变.
(Ⅱ)y=2-[cos C
∵[cosC
∴ymax =
5.解法一:如图所示,设OM=x km,则AM=
S=2(
=2
=2
S取最小值2
AM≈3.3,BM≈1.2.
故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆,
再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时, 第5题解图
总的修建费用最少,此时修建费为11.4万元.
解法二:如图所示,设∠OBM=α(0<α<arccos
AM=AO-MO=
设t=
由
将t=
∵ 0<
故Smin =2×3.3+4×1.2=11.4.
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