第十七章 反比例函数
一、基础知识
1. 定义:一般地,形如y?
还可以写成y?kx
1
kx
(k为常数,k?o)的函数称为反比例函数。y?
kx
2. 反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数y,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k),分母中含有自变量x,且指数为1. ⑵比例系数k?0
⑶自变量x的取值为一切非零实数。 ⑷函数y的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法
① 列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序)
③ 连线(从左到右光滑的曲线) ⑵反比例函数的图像是双曲线,y?
kx
(k为常数,k?0)中自变量x?0,函
数值y?0,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是y?x或y??x)。 ⑷反比例函数y?
kx
(k?0)中比例系数k的几何意义是:过双曲线y?
kx
(k?0)上任意引x轴y轴的垂线,所得矩形面积为k。 4
5. 点的坐标即可求出k) 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,
但是反比例函数y?
7. 反比例函数的应用
kx
中的两个变量必成反比例关系。
二、例题
【例1】如果函数y?kx2k是多少?
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y?(k?0)又在第二,四象限内,则k?0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义,得:
1??2k2?k?2??1?k??1或k?
解得??2
k?0??k?0??k??1
k??1时函数y?kx2k
2
2
k?2
的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值
kx
,(k?0)即y?kx
1
k?2
为y??
1x
1x
【例2】在反比例函数y??
的图像上有三点?x1,y1?,?x2,y2?,?x3,y3? 。
若x1?x2?0?x3则下列各式正确的是( )
A.y3?y1?y2 B.y3?y2?y1 C.y1?y2?y3 D.y1?y3?y2 【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。 解法一:由题意得y1??
1x1
,y2??
1x2
,y3??
1x3
x1?x2?0?x3,?y3?y1?y2
所以选A
1x
解法二:用图像法,在直角坐标系中作出y??的图像
描出三个点,满足x1?x2?0?x3观察图像直接得到y3?y1?y2选A 解法三:用特殊值法
x1?x2?0?x3,?令x1?2,x2?1,x3??1?y1??
12
,y2??1,y3?1,?y3?y1?y2
y?
3n?mx
的图像
【例3】如果一次函数y?mx?n?m?0?与反比例函数
1
相交于点
2)(,,那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 2
【解析】
直线y?mx?n与双曲线y?
3n?mx
1?m?2?m?n?2?1?
x相交于?,2?,??2解得?
2???n?1??3n?m?1
y?2x?1?
1?直线为y?2x?1,双曲线为y?解方程组?
y?x?x?
1
x1??1
得?
y1??11?
x2??2??y2?2
另一个点为
1,?1?
mx
【例4】 如图,在Rt?AOB中,点A是直线y?x?m与双曲线y?
的交点,且S?AOB?2,则m的值是
_____.
在第一象限
图
解:因为直线y?x?m与双曲线y? 则有yA?xA?m,yA?
mxA
mx
过点A,设A点的坐标为?xA,yA?.
.所以m?xAyA.
又点A在第一象限,所以OB?xA?xA,AB?yA?yA. 所以S?AOB?
12
OB?AB?
12xAyA?
12m
.而已知S?AOB?2.
所以m?4.
三、练习题
1.反比例函数y??
2x
的图像位于( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限
2.若y与x成反比例,x与z成正比例,则y是z的( )
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm2,那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为( )
C
A B D
4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时, 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( )
A、不小于
5.如图 ,A、C是函数y?
1x
54
m3 B、小于
54
m3 C、不小于m3
5
4
D、小于
45
m3
的图象上的任意两点,过A作x
轴的垂线,垂足为B,过C作y轴的垂线,垂足为D,记RtΔAOB的面积为S1,RtΔCOD的面积为S2则 ( ) A. S1 >S2 B. S1 <S2
C. S1=S2 D. S1与S2的大小关系不能确定 6.关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=
n?1x
的图象都经过点A(-2,1).
求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)两函数图象的另一个交点B的坐标;
(3)△AOB的面积.
7. 如图所示,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=A、B1
两点,与x轴交于点C.已知点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(,m).
2
(
1)求反比例函数和一次函数的解析式;
kx
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
8. 某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6小时可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少?
(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?
(3)写出t与Q的关系式. (4)如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少?
3
(5)已知排水管的最大排水量为每小时12m,那么最少需多长时间可将满池水全部排空?
.9.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y(件)是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件.
(1)请写出y关于x的函数关系式;
(2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其售价应为多少元?
15. 点P(2m-3,1)在反比例函数y=m=__________. x
6. 已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则m的值为__________.
7. 已知反比例函数y?1?2m
x的图象上两点A?x1,y1?,B?x2,y2?,当x1?0?x2时,
有y1?y2,则m的取值范围是?
8.已知y与x-1成反比例,并且x=-2时y=7,求:
(1)求y和x之间的函数关系式; (2)当x=8时,求y的值;
(3)y=-2时,x的值。
9. 已知b?3,且反比例函数y?
大,如果点?a,3?在双曲线上y?
1?bx1?bx的图象在每个象限内,y随x的增大而增,求a是多少?
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