第十七章 反比例函数
一、基础知识
1. 定义：一般地，形如y?
还可以写成y?kx
1
kx
（k为常数，k?o）的函数称为反比例函数。y?
kx
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1. ⑵比例系数k?0
⑶自变量x的取值为一切非零实数。 ⑷函数y的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，y?
kx
（k为常数，k?0）中自变量x?0，函
数值y?0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y?x或y??x）。 ⑷反比例函数y?
kx
（k?0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y?
kx
（k?0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。 4
5. 点的坐标即可求出k） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,
但是反比例函数y?
7. 反比例函数的应用
kx
中的两个变量必成反比例关系。
二、例题
【例1】如果函数y?kx2k是多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y?（k?0）又在第二，四象限内，则k?0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：
1??2k2?k?2??1?k??1或k?
解得??2
k?0??k?0??k??1
k??1时函数y?kx2k
2
2
k?2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值
kx
，（k?0）即y?kx
1
k?2
为y??
1x
1x
【例2】在反比例函数y??
的图像上有三点?x1，y1?，?x2，y2?，?x3，y3? 。
若x1?x2?0?x3则下列各式正确的是（ ）
A．y3?y1?y2 B．y3?y2?y1 C．y1?y2?y3 D．y1?y3?y2 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得y1??
1x1
，y2??
1x2
，y3??
1x3
x1?x2?0?x3，?y3?y1?y2
所以选A
1x
解法二：用图像法，在直角坐标系中作出y??的图像
描出三个点，满足x1?x2?0?x3观察图像直接得到y3?y1?y2选A 解法三：用特殊值法
x1?x2?0?x3,?令x1?2,x2?1,x3??1?y1??
12
,y2??1,y3?1,?y3?y1?y2
y?
3n?mx
的图像
【例3】如果一次函数y?mx?n?m?0?与反比例函数
1
相交于点
2）（，，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 2
【解析】
直线y?mx?n与双曲线y?
3n?mx
1?m?2?m?n?2?1?
x相交于?，2?，??2解得?
2???n?1??3n?m?1
y?2x?1?
1?直线为y?2x?1,双曲线为y?解方程组?
y?x?x?
1
x1??1
得?
y1??11?
x2??2??y2?2
另一个点为
1，?1?
mx
【例4】 如图，在Rt?AOB中，点A是直线y?x?m与双曲线y?
的交点，且S?AOB?2，则m的值是
_____.
在第一象限
图
解:因为直线y?x?m与双曲线y? 则有yA?xA?m,yA?
mxA
mx
过点A,设A点的坐标为?xA,yA?.
.所以m?xAyA.
又点A在第一象限,所以OB?xA?xA,AB?yA?yA. 所以S?AOB?
12
OB?AB?
12xAyA?
12m
.而已知S?AOB?2.
所以m?4.
三、练习题
1.反比例函数y??
2x
的图像位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
2.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（ ）
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（ ）
C
A B D
4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A、不小于
5．如图 ，A、C是函数y?
1x
54
m3 B、小于
54
m3 C、不小于m3
5
4
D、小于
45
m3
的图象上的任意两点，过A作x
轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则 （ ） A． S1 ＞S2 B． S1 <S2
C． S1=S2 D． S1与S2的大小关系不能确定 6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=
n?1x
的图象都经过点A（-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）△AOB的面积．
7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝A、B1
两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．
2
（
1）求反比例函数和一次函数的解析式；
kx
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式． （4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
3
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？
15. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝m＝__________． x
6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．
7. 已知反比例函数y?1?2m
x的图象上两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，当x1?0?x2时，
有y1?y2，则m的取值范围是？
8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：
(1)求y和x之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y的值；
(3)y＝-2时，x的值。
9. 已知b?3,且反比例函数y?
大,如果点?a,3?在双曲线上y?
1?bx1?bx的图象在每个象限内，y随x的增大而增，求a是多少？
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