2016届高三理科数学试题（7）

第I卷（选择题，60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数z?

2i

（i是虚数单位），则|z|= 1?i

A．1             B

C

D．2 2、已知集合A?{x|x2?x?2?0},B?{y|y?2x},则???? A

．y?

B．y?lnx         C．y?

1x       D．y?2 x

3、已知命题p:?x?(0,??),x2?x?1,则命题p的否定形式是

2

A．?p:?x0?(0,??),x0?x0?1            2B．?p:?x0?(??,0),x0?x0?1

2C．?p:?x0?(0,??),x0?x0?1

2D．?p:?x0?(??,0),x0?x0?1

4、执行如图所示的程序框图，则输出i的值为

A．4          B．5        C．6            D．7 5、已知tanx?

1

,则sin2x? 3

33A

．       B

．    C．       D．

105105

x2?y2?1(m?

0)6、已知双曲线，则m的值为 mA

．

B．3        C．8            D

． 32

7、函数y=sin（ωx+φ）的部分图像如图，则f()=

2

A．?

11          B．        C

．      D

22

8、已知定义在R上的函数f(x)满足f（x）=f（2-x），其图像经过点（2,0），且对任意则不等式(x?1)f(x)?0的x1,x2?(1,??),x1?x2,且(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0恒成立，解集为

A．(??,1]                 B．(1,??]       C．(??,1]?1,2           D．(0,1]??2,???

9、小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰。在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率为

32

，每次操作考试通过的概率为，并且每次考43

试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是 A．

1323

B．            C．       D． 38342

B．1 3

45                     D． 33

10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是    A． C．

11. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作倾角为60的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），与其准线交于点C，则

S?AOC

S?BOF

A．6          B．7        C．8            D．10

x2?2ex,x?0?

12．已知函数f(x)=?x，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程

e,x≥0

f(x)?a|x|?0(a?R)有三个不同的实数根，则f(x)?a|x|?0的零点个数为

A．1          B．2        C．3            D．以上都有可能

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分).

13、已知等比数列{an}满足：a1?a3?1,a2?a4?2,则a4?a6?。 14

、函数y?

。

15、已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，

∠BAC=120°，则球O的表面积为        。

16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AB，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC

的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧?DE

上变动（如图所示）。若???AP??????ED??????AF?

，其中?,??R,则2???的

取值范围是              。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分10分）

已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1?2，a4?20. （ I）求数列{an}的通项公式；

（II）设bn?

1

aa，求数列{bn}的前n项和.  nn?1

18、（本小题满分12分）

已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C

的对边，且2asin(C??

3

)?.

（I）求角A的值；

（II）若AB=3，AC边上的中线BD

ABC的面积。

19、（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°    （I）求证：PB⊥AD；

（II）若

A—PD—C的余弦值。

20、（本小题满分12分）

某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：

（I）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；

（II）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方

工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率。（视频率为概率）  21、（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C：2?2?1(a?b?

0)的离心率为，长轴长为8.。

ab4

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值。  22、（本小题满分12分）

x2

ax?2lnx,(a?R).在x=2处取得极值。 已知函数f(x)?2

（I）求实数a的值及函数f(x)的单调区间；

（II）方程f(x)=m有三个实根x1,x2,x3(x1?x2?x3),求证：x3?x2?2.

数学（理科）参考答案

一、选择题：

1-5BBCAD  BDDBC   AC

二、填空题：

13.    8                14. ?,?

3315.   5?               16.??1,1? 三、解答题

17．解：(Ⅰ)  由已知，得S2?S1?S4            ……………………… 1分 即a1(4a1?6d)?(2a1?d)2  得 2a1d?d2

又由a1?1，d?0   得d?2               ……………………… 3分 故，an?2n?1                           ……………………… 5分 （Ⅱ）由已知可得bn?

2

12???

1

，              ……………………… 6分

(2n?1)(2n?1)

Tn?

1111?????1?33?55?7(2n?1)(2n?1)

1?1111111?(1?)?(?)?(?)???(?)?     ?2?335572n?12n?1?

n

…………………… 10分 2n?1

18. 解：(Ⅰ)由2asin?C?

3b 3??cosCsin

变形为2sinA?sinCcos

3

sinB 3?

sinAsinC?sinAcosC?3sin????A?C??

sinAsinC?sinAcosC?3sin?A?C?                  ………………2分

sinAsinC?3sinAcosC?sinAcosC?cosAsinC

sinAsinC?3cosAsinC

因为sinC?0 所以sinA?3cosA

tanA?                                                    ………………4分

又?A??0,???A?

3

………………6分

（Ⅱ）在?ABD中，AB?3，BD?，A?

3

利用余弦定理，AB2?AD2?2?AB?AD?cosA?BD2

解得AD?4，                                                ………………8分 又D是AC的中点 ?AC?8

S?ABC?

1

AB?AC?sinA?63                            ………………12分 2

19． (Ⅰ)证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．

∵PA＝PD＝DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，

则PE⊥AD， BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，          ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

又PB?平面PBE，∴PB⊥AD；                     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

(Ⅱ)解：在△PBE中，由已知得，PE＝BE＝3，PB＝6，则PB2＝PE2＋BE2， ∴∠PEB＝90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；

以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)， C(－2,3,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,3)， 则＝(1,0,3)，＝(－1,3,0)，

由题意可设平面APD的一个法向量为m＝(0,1,0)；．．．．．．．．．．．．．．．．7分

设平面PDC的一个法向量为n＝(x,y,z)，

x＋3z＝0，?由 得：?令y＝1，则x＝3，z＝－1，∴n＝(3,1,－1)；

－x＋3y＝0，?

则m·n＝1，∴cos<m, n >＝

m·n  1 5

＝         ．．．．．．．．．．．．11分

| m|| n |55

由题意知二面角A－PD－C的平面角为钝角，所以，二面角A－PD－C的余弦值为－5．．．．．．．．12分 5

20.解：（I）北方工厂灯具平均寿命：

x北方=350?0.12+450?0.28+550?0.4+650?0.12+750?0.08=526小时；…………3分 南方工厂灯具平均寿命： x南方=350?0.12+450?0.28+550?0.36+650?0.24=522小时. …………6分

（Ⅱ）设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为A，B；南方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为C，D；

（A）=P（B）=P（C）=P（D）=由题意可知：P

购北方工厂灯具的概率 3;                       …………8分则：采5

…………10分 P?P(ABCD)?P(ABCD)?P(ABCD)?P(ABCD)?P(ABCD)

3?????5?22??3?2?1921?3??2??2? .                     …………12分 ?1?????C2???????625?5??5??5????5???

21． 解：

（Ⅰ）由题意c?① ，2a?8②，      …………2’ a

222又a?b?c③，由①②③解得：a?4,b?3，

x2y2

1            所以求椭圆C的标准方程为169.

…………4’

（Ⅱ）设直线l方程为y?k(x?m)（k?0），且A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AQ、BQ的斜率分别为k1,k2，

x2y2

1得： 将y?k(x?m)代入169

(9?16k2)x2?32k2mx?16k2m2?144?0， 32k2m16k2m2?144,x1?x2?由韦达定理可得：x1?x2?.   …………7’ 9?16k29?16k2

由k1?k2?0得，y1y?2?0，将y1?k(x1?m),y2?k(x2?m)代入，整理得： x1?nx2?n

2x1x2?(m?n)(x1?x2)?2mn?0.                 x1x2?n(x1?x2)?n2

即2x1x2?(m?n)(x1?x2)?2mn?0.                 …………10’ 32k2m16k2m2?144x?x2?,x1?x2?整理可解得将19?16k29?16k2代入，mn?16.              …………12’

22解：(Ⅰ)由已知f?(x)?x?a?22，f?(2)?2?a??0，a??3………1分 x2

2x2?3x?2(x?2)(x?1)所以f?(x)?x?3??，x?0 ?xxx

由f?(x)?0，得0?x?1,或x?2； 由f?(x)?0，得1?x?2，………3分 所以函数的单调递增区间是(0,1),(2,??)，单调递减区间是(1,2).………4分 （Ⅱ）由（1）可知极小值f?2??2ln2?4；极大值为f?1???5

2

可知方程f(x)?m三个实根满足0?x1?1?x2?2?x3………5分 设h1(x)?f?x??f?2?x?，x?(0,1)

24(x?1)h1?(x)?f??x??f??2?x???0 x(2?x)

则h1(x)?h1(1)?f?1??f?2?1??0，

即f?x??f?2?x?,x?(0,1)

所以f?x2??f?x1??f?2?x1?，

由（1）知函数f?x?在?1,2?上单调递减，

从而x2?2?x1，即x1?x2?2①………8分

同理设h2(x)?f?x??f?4?x?,x?(1,2)

22(x?2)h2?(x)?f??x??f??4?x???0 x(4?x)

h2(x)?h2(2)?f?2??f?4?2??0） 即f?x??f?4?x?,x?(1,2) f?x3??f?x2??f?4?x2?，由（1）知函数f?x?在?2,???上单调递增， 从而x3?4?x2，即x3?x2?4②………11分 由①②可得x3?x1?2得证. ………12分

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