难点31 数学归纳法解题
数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.
●难点磁场
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=
n(n?1)
(an2+bn+c). 12
●案例探究
[例1]试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:an+cn>2bn.
命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★级题目.
知识依托:等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况. 技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1
>ak·c+ck·a.
b
证明:(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q>0且q≠1)
q
bnnnn1
∴a+c=n+bq=b(n+qn)>2bn
n
n
an?cna?cn
(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想>()(n≥2且n∈N*)
22
下面用数学归纳法证明:
a2?c2a?c2
() ①当n=2时,由2(a+c)>(a+c),∴
22
ak?cka?ck
(), ②设n=k时成立,即
22
ak?1?ck?11
(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 则当n=k+1时,
24
11
>(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) 44a?cka?ca?ck+1>()·()=()
222
1
[例2]在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.
2
(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论; (3)求数列{an}所有项的和.
命题意图:本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.
知识依托:等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.
1
错解分析:(2)中,Sk=-应舍去,这一点往往容易被忽视.
2k?3
2
2
2
技巧与方法:求通项可证明{
111
}是以{}为首项,为公差的等差数列,进而求得
S1Sn2
104
通项公式.
11
成等比数列,∴Sn2=an·(Sn-)(n≥2) (*) 22
2
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-
3
212
由a1=1,a2=-,S3=+a3代入(*)式得:a3=-
3315
解:∵an,Sn,Sn-
(n?1)?1 2?
同理可得:a4=-,由此可推出:an=? 2
(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?
(2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.
2
②假设n=k(k≥2)时,ak=-成立
(2k?3)(2k?1)故Sk2=-
21
·(Sk-)
(2k?3)(2k?1)2
∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0
11
(舍) ,Sk??
2k?12k?3
11
由Sk+12=ak+1·(Sk+1-),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk-)
22
∴Sk=
2ak?1ak?11122
a??a??ak?1k?1k?1
2k?12k?12(2k?1)2
2
ak?1?,即n?k?1命题也成立.
[2(k?1)?3][2(k?1)?1]?
1(n?1)?
由①②知,an=?对一切n∈N成立. 2
(n?2)?(2n?3)(2n?1)?
(3)由(2)得数列前n项和Sn=
1
,∴S=limSn=0.
n??2n?1
●锦囊妙记
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题,若 1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明:恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除
105
f(n),则最大的m的值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空题
131151117
3.(★★★★★)观察下列式子:1??,1?2?2?,1?2?2?2?…则可归
223423234
纳出_________.
4.(★★★★)已知a1=an=_________.
三、解答题
5.(★★★★)用数学归纳法证明42n?1+3n+2能被13整除,其中n∈N*. 6.(★★★★)若n为大于1的自然数,求证:
3an1
,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________,由此猜想
an?32
11113
. ?????
n?1n?22n24
7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+
1
)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试bn
比较Sn与
1
logabn+1的大小,并证明你的结论. 3
8.(★★★★★)设实数q满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果limS2n<3,求q的取值范围.
n??
参考答案
难点磁场
1?
4?(a?b?c)?6?a?3?
1??
b?11 解:假设存在a、b、c使题设的等式成立,这时令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)
2??c?10
70?9a?3b?c
于是,对n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=
n(n?1)
(3n2?11n?10) 12
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
k(k?1)
(3k2+11k+10) 12k(k?1)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
2
设n=k时上式成立,即Sk=
106
=
(k?1)(k?2)
12
(3k2+5k+12k+24)
=(k?1)(k?2)12
[3(k+1)2+11(k+1)+10]
也就是说,等式对n=k+1也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设对一切自然数n均成立. 歼灭难点训练
一、1.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除. 证明:n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k =(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-
2(k≥2) ?f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于36. 答案:C
2.解析:由题意知n≥3,∴应验证n=3. 答案:C 二、3.解析:1?
122?32即1?12?1?1(1?1)
2?1?1 1?
1122?32?53,即1?1(1?1)2?1(2?1)2
2?2?1
2?1
归纳为1?
122?132???1(n?1)
2
2n?1n?1(n∈N*
) 答案:1?
122?132???1(n?1)
2
2n?1
n?1(n∈N*) 3?
1
4.解析:a?3a1a?3??3?32同理,1722
3?5
a?3a23a??3,a334?5a33334??,5?10?5?5,猜想an?
2?383?59n?5
答案:33333
7、8、9、10
n?5
三、5.证明:(1)当n=1时,42×
1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除
107
∴当n=k+1时也成立.
由①②知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.
11713
2?12?21224
11113
(2)假设当n=k时成立,即 ?????
k?1k?22k24
1111111
则当n?k?1时,????????
k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1
131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24
6.证明:(1)当n=2时,
b1?1
b1?1?
7.(1)解:设数列{bn}的公差为d,由题意得?,∴bn=3n-2 ?10(10?1)
d?310b?d?145?1?2?
(2)证明:由bn=3n-2知
11
)+…+loga(1+) 43n?211
=loga[(1+1)(1+)…(1+ )]
43n?2
111而logabn+1=loga3n?1,于是,比较Sn与logabn+1的大小?比较(1+1)(1+)…3341(1+)与n?1的大小.
3n?2
Sn=loga(1+1)+loga(1+
取n=1,有(1+1)=?4?3?1?1 取n=2,有(1+1)(1+)?8?7?3?2?1 推测:(1+1)(1+
14
11)…(1+)>n?1 (*) 43n?2
①当n=1时,已验证(*)式成立.
11
)…(1+)>3k?1 43k?2
1111
)(1?)?k?1(1?) 则当n=k+1时,(1?1)(1?)?(1?
43k?23(k?1)?23k?1
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+
3k?23k?1
3k?1
(
3k?23k?1)3?(3k?4)3
3k?1
(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0
(3k?1)2(3k?1)2
k?1
(3k?2)?3k?4?3(k?1)?13k?1
108
难点31 数学归纳法解题
数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.
●难点磁场
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=
n(n?1)
(an2+bn+c). 12
●案例探究
[例1]试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:an+cn>2bn.
命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★级题目.
知识依托:等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况. 技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1
>ak·c+ck·a.
b
证明:(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q>0且q≠1)
q
bnnnn1
∴a+c=n+bq=b(n+qn)>2bn
n
n
an?cna?cn
(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想>()(n≥2且n∈N*)
22
下面用数学归纳法证明:
a2?c2a?c2
() ①当n=2时,由2(a+c)>(a+c),∴
22
ak?cka?ck
(), ②设n=k时成立,即
22
ak?1?ck?11
(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 则当n=k+1时,
24
11
>(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) 44a?cka?ca?ck+1>()·()=()
222
1
[例2]在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.
2
(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论; (3)求数列{an}所有项的和.
命题意图:本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.
知识依托:等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.
1
错解分析:(2)中,Sk=-应舍去,这一点往往容易被忽视.
2k?3
2
2
2
技巧与方法:求通项可证明{
111
}是以{}为首项,为公差的等差数列,进而求得
S1Sn2
104
通项公式.
11
成等比数列,∴Sn2=an·(Sn-)(n≥2) (*) 22
2
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-
3
212
由a1=1,a2=-,S3=+a3代入(*)式得:a3=-
3315
解:∵an,Sn,Sn-
(n?1)?1 2?
同理可得:a4=-,由此可推出:an=? 2
(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?
(2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.
2
②假设n=k(k≥2)时,ak=-成立
(2k?3)(2k?1)故Sk2=-
21
·(Sk-)
(2k?3)(2k?1)2
∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0
11
(舍) ,Sk??
2k?12k?3
11
由Sk+12=ak+1·(Sk+1-),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk-)
22
∴Sk=
2ak?1ak?11122
a??a??ak?1k?1k?1
2k?12k?12(2k?1)2
2
ak?1?,即n?k?1命题也成立.
[2(k?1)?3][2(k?1)?1]?
1(n?1)?
由①②知,an=?对一切n∈N成立. 2
(n?2)?(2n?3)(2n?1)?
(3)由(2)得数列前n项和Sn=
1
,∴S=limSn=0.
n??2n?1
●锦囊妙记
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题,若 1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明:恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除
105
f(n),则最大的m的值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空题
131151117
3.(★★★★★)观察下列式子:1??,1?2?2?,1?2?2?2?…则可归
223423234
纳出_________.
4.(★★★★)已知a1=an=_________.
三、解答题
5.(★★★★)用数学归纳法证明42n?1+3n+2能被13整除,其中n∈N*. 6.(★★★★)若n为大于1的自然数,求证:
3an1
,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________,由此猜想
an?32
11113
. ?????
n?1n?22n24
7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+
1
)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试bn
比较Sn与
1
logabn+1的大小,并证明你的结论. 3
8.(★★★★★)设实数q满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果limS2n<3,求q的取值范围.
n??
参考答案
难点磁场
1?
4?(a?b?c)?6?a?3?
1??
b?11 解:假设存在a、b、c使题设的等式成立,这时令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)
2??c?10
70?9a?3b?c
于是,对n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=
n(n?1)
(3n2?11n?10) 12
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
k(k?1)
(3k2+11k+10) 12k(k?1)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
2
设n=k时上式成立,即Sk=
106
=
(k?1)(k?2)
12
(3k2+5k+12k+24)
=(k?1)(k?2)12
[3(k+1)2+11(k+1)+10]
也就是说,等式对n=k+1也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设对一切自然数n均成立. 歼灭难点训练
一、1.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除. 证明:n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k =(6k+27)·3k-(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-
2(k≥2) ?f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于36. 答案:C
2.解析:由题意知n≥3,∴应验证n=3. 答案:C 二、3.解析:1?
122?32即1?12?1?1(1?1)
2?1?1 1?
1122?32?53,即1?1(1?1)2?1(2?1)2
2?2?1
2?1
归纳为1?
122?132???1(n?1)
2
2n?1n?1(n∈N*
) 答案:1?
122?132???1(n?1)
2
2n?1
n?1(n∈N*) 3?
1
4.解析:a?3a1a?3??3?32同理,1722
3?5
a?3a23a??3,a334?5a33334??,5?10?5?5,猜想an?
2?383?59n?5
答案:33333
7、8、9、10
n?5
三、5.证明:(1)当n=1时,42×
1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)
∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除
107
∴当n=k+1时也成立.
由①②知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.
11713
2?12?21224
11113
(2)假设当n=k时成立,即 ?????
k?1k?22k24
1111111
则当n?k?1时,????????
k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1
131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24
6.证明:(1)当n=2时,
b1?1
b1?1?
7.(1)解:设数列{bn}的公差为d,由题意得?,∴bn=3n-2 ?10(10?1)
d?310b?d?145?1?2?
(2)证明:由bn=3n-2知
11
)+…+loga(1+) 43n?211
=loga[(1+1)(1+)…(1+ )]
43n?2
111而logabn+1=loga3n?1,于是,比较Sn与logabn+1的大小?比较(1+1)(1+)…3341(1+)与n?1的大小.
3n?2
Sn=loga(1+1)+loga(1+
取n=1,有(1+1)=?4?3?1?1 取n=2,有(1+1)(1+)?8?7?3?2?1 推测:(1+1)(1+
14
11)…(1+)>n?1 (*) 43n?2
①当n=1时,已验证(*)式成立.
11
)…(1+)>3k?1 43k?2
1111
)(1?)?k?1(1?) 则当n=k+1时,(1?1)(1?)?(1?
43k?23(k?1)?23k?1
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+
3k?23k?1
3k?1
(
3k?23k?1)3?(3k?4)3
3k?1
(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0
(3k?1)2(3k?1)2
k?1
(3k?2)?3k?4?3(k?1)?13k?1
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