高考数学难点突破 难点31 数学归纳法解题

难点31  数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)

(an2+bn+c). 12

●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1

＞ak·c+ck·a.

b

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

q

bnnnn1

∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qq

n

n

an?cna?cn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22

下面用数学归纳法证明：

a2?c2a?c2

() ①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22

ak?cka?ck

(), ②设n=k时成立，即

22

ak?1?ck?11

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 则当n=k+1时，

24

11

＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) 44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

222

1

［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.

2

(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{an}所有项的和.

命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.

知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.

1

错解分析：(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视.

2k?3

2

2

2

技巧与方法：求通项可证明{

111

}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得

S1Sn2

104

通项公式.

11

成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)                       (*) 22

2

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3

212

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315

解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1          2?

同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2

(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?

(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.

2

②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－

21

·(Sk－)

(2k?3)(2k?1)2

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

11

(舍) ,Sk??

2k?12k?3

11

由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22

∴Sk=

2ak?1ak?11122

a??a??ak?1k?1k?1

2k?12k?12(2k?1)2

2

ak?1?,即n?k?1命题也成立.

[2(k?1)?3][2(k?1)?1]?

1(n?1)?

由①②知，an=?对一切n∈N成立. 2

(n?2)?(2n?3)(2n?1)?

(3)由(2)得数列前n项和Sn=

1

,∴S=limSn=0.

n??2n?1

●锦囊妙记

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除

105

f(n)，则最大的m的值为(    )

A.30     B.26    C.36     D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证(    ) A.n=1    B.n=2   C.n=3    D.n=4 二、填空题

131151117

3.(★★★★★)观察下列式子：1??,1?2?2?,1?2?2?2?…则可归

223423234

纳出_________.

4.(★★★★)已知a1=an=_________.

三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*. 6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：

3an1

,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想

an?32

11113

. ?????

n?1n?22n24

7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

(1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+

1

)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试bn

比较Sn与

1

logabn+1的大小，并证明你的结论. 3

8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果limS2n＜3,求q的取值范围.

n??

参考答案

难点磁场

1?

4?(a?b?c)?6?a?3?

1??

b?11 解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)

2??c?10

70?9a?3b?c

于是，对n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)

(3n2?11n?10) 12

记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

k(k?1)

(3k2+11k+10) 12k(k?1)

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2

设n=k时上式成立，即Sk=

106

=

(k?1)(k?2)

12

(3k2+5k+12k+24)

=(k?1)(k?2)12

［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立. 歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－

2(k≥2) ?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C

2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3. 答案：C 二、3.解析：1?

122?32即1?12?1?1(1?1)

2?1?1 1?

1122?32?53,即1?1(1?1)2?1(2?1)2

2?2?1

2?1

归纳为1?

122?132???1(n?1)

2

2n?1n?1(n∈N*

) 答案:1?

122?132???1(n?1)

2

2n?1

n?1(n∈N*) 3?

1

4.解析:a?3a1a?3??3?32同理,1722

3?5

a?3a23a??3,a334?5a33334??,5?10?5?5,猜想an?

2?383?59n?5

答案:33333

7、8、9、10

n?5

三、5.证明：(1)当n=1时，42×

1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)

∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

107

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

11713

2?12?21224

11113

(2)假设当n=k时成立，即 ?????

k?1k?22k24

1111111

则当n?k?1时,????????

k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1

131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24

6.证明：(1)当n=2时，

b1?1

b1?1?

7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)

d?310b?d?145?1?2?

(2)证明：由bn=3n－2知

11

)+…+loga(1+) 43n?211

=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］

43n?2

111而logabn+1=loga3n?1,于是，比较Sn与logabn+1的大小?比较(1+1)(1+)…3341(1+)与n?1的大小.

3n?2

Sn=loga(1+1)+loga(1+

取n=1，有(1+1)=?4?3?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?8?7?3?2?1 推测：(1+1)(1+

14

11)…(1+)＞n?1 (*) 43n?2

①当n=1时，已验证(*)式成立.

11

)…(1+)＞3k?1 43k?2

1111

)(1?)?k?1(1?) 则当n=k+1时，(1?1)(1?)?(1?

43k?23(k?1)?23k?1

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+

3k?23k?1

3k?1

(

3k?23k?1)3?(3k?4)3

3k?1

(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0

(3k?1)2(3k?1)2

k?1

(3k?2)?3k?4?3(k?1)?13k?1

108

难点31  数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)

(an2+bn+c). 12

●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1

＞ak·c+ck·a.

b

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

q

bnnnn1

∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qq

n

n

an?cna?cn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22

下面用数学归纳法证明：

a2?c2a?c2

() ①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22

ak?cka?ck

(), ②设n=k时成立，即

22

ak?1?ck?11

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) 则当n=k+1时，

24

11

＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) 44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

222

1

［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.

2

(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{an}所有项的和.

命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.

知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.

1

错解分析：(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视.

2k?3

2

2

2

技巧与方法：求通项可证明{

111

}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得

S1Sn2

104

通项公式.

11

成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)                       (*) 22

2

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3

212

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315

解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1          2?

同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2

(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?

(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.

2

②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－

21

·(Sk－)

(2k?3)(2k?1)2

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

11

(舍) ,Sk??

2k?12k?3

11

由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22

∴Sk=

2ak?1ak?11122

a??a??ak?1k?1k?1

2k?12k?12(2k?1)2

2

ak?1?,即n?k?1命题也成立.

[2(k?1)?3][2(k?1)?1]?

1(n?1)?

由①②知，an=?对一切n∈N成立. 2

(n?2)?(2n?3)(2n?1)?

(3)由(2)得数列前n项和Sn=

1

,∴S=limSn=0.

n??2n?1

●锦囊妙记

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除

105

f(n)，则最大的m的值为(    )

A.30     B.26    C.36     D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证(    ) A.n=1    B.n=2   C.n=3    D.n=4 二、填空题

131151117

3.(★★★★★)观察下列式子：1??,1?2?2?,1?2?2?2?…则可归

223423234

纳出_________.

4.(★★★★)已知a1=an=_________.

三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*. 6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：

3an1

,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想

an?32

11113

. ?????

n?1n?22n24

7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

(1)求数列{bn}的通项公式bn; (2)设数列{an}的通项an=loga(1+

1

)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试bn

比较Sn与

1

logabn+1的大小，并证明你的结论. 3

8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果limS2n＜3,求q的取值范围.

n??

参考答案

难点磁场

1?

4?(a?b?c)?6?a?3?

1??

b?11 解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)

2??c?10

70?9a?3b?c

于是，对n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)

(3n2?11n?10) 12

记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

k(k?1)

(3k2+11k+10) 12k(k?1)

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2

设n=k时上式成立，即Sk=

106

=

(k?1)(k?2)

12

(3k2+5k+12k+24)

=(k?1)(k?2)12

［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立. 歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－

2(k≥2) ?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C

2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3. 答案：C 二、3.解析：1?

122?32即1?12?1?1(1?1)

2?1?1 1?

1122?32?53,即1?1(1?1)2?1(2?1)2

2?2?1

2?1

归纳为1?

122?132???1(n?1)

2

2n?1n?1(n∈N*

) 答案:1?

122?132???1(n?1)

2

2n?1

n?1(n∈N*) 3?

1

4.解析:a?3a1a?3??3?32同理,1722

3?5

a?3a23a??3,a334?5a33334??,5?10?5?5,猜想an?

2?383?59n?5

答案:33333

7、8、9、10

n?5

三、5.证明：(1)当n=1时，42×

1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)

∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

107

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

11713

2?12?21224

11113

(2)假设当n=k时成立，即 ?????

k?1k?22k24

1111111

则当n?k?1时,????????

k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1

131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)24

6.证明：(1)当n=2时，

b1?1

b1?1?

7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)

d?310b?d?145?1?2?

(2)证明：由bn=3n－2知

11

)+…+loga(1+) 43n?211

=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］

43n?2

111而logabn+1=loga3n?1,于是，比较Sn与logabn+1的大小?比较(1+1)(1+)…3341(1+)与n?1的大小.

3n?2

Sn=loga(1+1)+loga(1+

取n=1，有(1+1)=?4?3?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?8?7?3?2?1 推测：(1+1)(1+

14

11)…(1+)＞n?1 (*) 43n?2

①当n=1时，已验证(*)式成立.

11

)…(1+)＞3k?1 43k?2

1111

)(1?)?k?1(1?) 则当n=k+1时，(1?1)(1?)?(1?

43k?23(k?1)?23k?1

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+

3k?23k?1

3k?1

(

3k?23k?1)3?(3k?4)3

3k?1

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