高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精

讲

一. 本周教学内容：

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系

［知识点］

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

e?

ca

(0?e?1)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为

椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。     注意：①对

xa

22

yb

22

1(a?b?0)对应于右焦点F2(c，0)的准线称为右准线，

2

方程是x?

a

2

c

，对应于左焦点F1(?c，0)

的准线为左准线x??

a

c

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。     对于椭圆

xa

2?

yb

22

1(a?b?0)，设P(x，y)为椭圆上一点，由第二定义：

左焦半径

r左x0?

a

2

ca

∴r左?ex0?

ca

2

a

2

c

a?ex0

c

ca

r右?a?ex0

右焦半径

r右a

2

c

x0

3. 椭圆参数方程

问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕

O旋转时点M的轨迹的参数方程。

解：设点M的坐标是(x，y)，?是以Ox为始边，??为终边的正角，取?为 参数。

那么x?ON?|OA|cos?

y?NM?|OB|sin?

x?acos?∴?

y?bsin?

(1)

这就是椭圆参数方程：?为参数时，?称为“离心角”     说明：<1> 对上述方程（1）消参即

x

cos?22?xy?a

2?2?1    ?

yab??sin???b

普通方程

<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

4. 补充

5. 直线与椭圆位置关系：     （1）相离

xa

22

yb

22

1y?kx?b

2

x2y

2?1?

①相离??a2b

y?kx?b?

无解

②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）     ③关于直线的对称椭圆。     （2）相切

2

x2y

2?1?

①相切??a2b

y?kx?b?

有一解

②过椭圆上一点P0(x0，y0)的椭圆的切线方程为

2

x2y

2?1?

(3)相交??a2有两解 b

y?kx?b

xx0a

2

yy0b

2

1

①弦长公式：     |AB|?        ?

(x1?x2)?(y1?y2)1?k

2

2

2

2

(x1?x2)?4x1x2

1?k|x1?x2|

1?k2

2

2

|a|

②(中点：斜率)?作差法    例已知A(?2，

3)，F是椭圆

x

2

1.

y

2

1612

1的右焦点，点M在椭圆上移动，当

|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M的坐标。

分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|MA|?2|MF|?|MA|?|MP|?|AA'|     这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。     解：设直线l是椭圆的右准线，MP⊥l，垂足为P，则

12

|MF||MP|

e，|MP|?

1e

1e

|MF|，由已知方程得a?4，b?23，∴c?2，e?，由此得|MP|?|MF|?

2|MF|，从而得

|MA|?2|MF|?|MA|?|MP|?|AA'|，即当点M、A、P三点共线且M是AP内分点

时，等号成立，此时|MA|?2|MF|取得最小值，点M的坐标为(23，

3)

例2. 椭圆

x

2

9

y

2

4

1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角

时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）     分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。     解：法一 在椭圆中，a?3，b?2，c?

5，依焦半径公式知|PF1|?3?

53x，

|PF2|?3?

3

53

222

x，由余弦定理知∠F1PF2为钝角?|PF1|?|PF2|?|F1F2|?

(3?x)?(3?

2

53

x)

2

(25)?x

22

95

，应填?

35

x?

3

法二  设P(x，y)，则当∠F1PF2?90°时，点P的轨迹方程为x2?y2?5， 由此可得点P的横坐标x?±

35

，点P在x轴上时，∠F1PF2?0；点P在y轴上

时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是?

35

x?

3

小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。

例3. 过椭圆

x

2

16

y

2

4

1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条

弦所在的直线方程。

分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。

解：法一  设所求直线方程为y?1?k(x?2)，代入椭圆方程并整理，得

(4k

2

1)x

2

(2k

2

k)x?4(2k?1)

2

16?0，又设直线与椭圆的交点为

A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1?x2?

22

8(2k4k

22

k)?1

，

又M为AB的中点，∴

x1?x2

2

4(2k4k

k)?1

2，解之得k??

12

，故所求直线方

程为x?2y?4?0

法二  设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2，1)为AB的中点，

∴x1?x2?4，y1?y2?2，又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2 ?16，两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0

2

2

2

2

2

2

2

2

∴

y1?y2x1?x2

x1?x24(y1?y2)

12

即P点坐标为P(?

83

，

13

)

法二  因l与椭圆相离，故把直线l平移至l'，使l'与椭圆相切，则l与l'的距离，

即为所求的最小值，切点为所求点(l''?

最大)

x?y?m?0

消x得     设l'：x?y?m?0，则由?2

2

x?8y?8?

9y2?2my?m2?8?0，令??4m2?439(m2?8)?0     解之得m?±3，(?3为最大)，由图得m??3

83

13

22

此时P(?

，

)，由平行线间距离得lmin?

例5. 已知椭圆E：

x

2

25

y

2

16

1，P(x，y)是椭圆上一点

(1)求x?y的最大值

（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。

分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y2代入x2+y2，转化为

x的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将x、y代入x?y，转化为三角 问题求解。法三：令x?y

2

2

2

2

22

r，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求r的最

22

值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。

题（2）可将四边形ABCD的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC是定线段，故长度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时

四边形ABCD的面积最大。求得202

解：(1)法一由

x

2

25

y

2

16

1得y

2

16(1?

x

2

25

)，

则x?y?x?16(1?

222

x

2

25

)?16?

9x

2

25

[16，25]

∴x2?y2的最大值为25，最小值为16 ?x?5cos?

法二：令?，

y?4sin?

则x2?y2?25cos2??16sin2??16?9cos2??[16，25]     法三令x2?y2?r2，则数形结合得r2?[16，25]

（2）由题意得A（5，0），C（0，4），则直线AC方程为：4x＋5y－20 ?0，又设B(5cos?，4sin?)，则点B到直线AC的距离

   d1?

|20cos??20sin??20|

41

|202sin(???

41

202?20

41

)?20|

202?20

41

同理点D到直线AC的距离d2?

∴四边形的最大面积S?|AC|(d1?d2)?202

例6. 已知椭圆

xa

22

yb

22

1(a?b?0)，AB是椭圆上两点，线段AB的垂直平

分线与x轴相交于点P（x0，0）。     求证：?

a?ba

2

2

x0?

a?ba

22

（1992年全国高考题）

分析：本题证明的总体思路是：用A、B两点的坐标x1、x2及a、b来表示x0， 利用?2a?x1?x2?2a证明

证明：法一  设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题意知x1≠x2且P(x0，0)，     由|PA|?|PB|得(x1?x0)?y1?(x2?x1)?y2

2

1

2

2

2

2

2

①

又A、B两点在椭圆上，∴y?b(1?

x1a

22

)，y

22

b(1?

2

x2a

22

)

代入①整理得2(x2?x1)x0?(x?x)

x1?x2

2

a?ba

22

2

2221

a?ba

2

22

，

∵x1≠x2，∴有x0?

2

又?a?x1?a，?a?x2?a，且x1≠x2     ∴?2a?x1?x2?2a

a?ba

2

2

由此得?

x0?

a?ba

22

法二  令|PA|?r，则以P为圆心，

r为半径的圆的方程为(x?x0)2?y2?r2①

xa

22

圆P与椭圆?

yb

22

1(a?b?0)②交于A、B两点

由①、②消去y整理得

a?ba

2

22

x?2x0x?x0?r?b

2222

0

由韦达定理得x1?x2?

2

2

2

2ax0a?b

22

2

2

(?2a，2a)

∴?

a?ba

x0?

a?ba

法三  设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点为M(m、n)     ∴x1?x2?2m，y1?y2?2n

x1a

22

又A、B两点在椭圆上?

y1b

2

2

1，

x2a

22

y2b

2

2

1

则两式相减得

y1?y2x1?x2

2

(x1?x2)(x1?x2)

a

2

(y1?y2)(y1?y2)

b

2

0

将??

m?x0

n

及x1?x2?2m，y1?y2?2n代入整理得：

x0?

a?ba

2

2

m?

x1?x2

2

2

a?ba

2

22

，下略

这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。

例

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴，离心率e?

32

，已知点P(0，

32)

7.

到这个椭圆上的点的最远距离是距离等于

7的点的坐标

7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的

解法一：设椭圆的参数方程为

x?acos?，

(其中a?b?0，0???2?)     ?

y?bsin??

由e?

2

ca

22

b23

1?()?，得a?2b

a4

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d     则d

2

x?(y?

2

2

2

32

)

32)

22

2

acos??(bsin??         ??3b(sin??    如果

12b

1即b?

12

2

12b

)?4b?3

2

2

2

那么当sin???1时，d取得最大值(7)?(b?    由此得b?    因此必有

12b7?

32?12与b?

12矛盾

12b

32

)

2

1，此时当sin???时，d取得最大值(7)

22

4b?3

2

解得b?1，a?2

x?2cos?

所求椭圆的参数方程是?

y?sin??

由sin???

12

，cos??±

32

12

12

求得椭圆上到点P的距离等于

xa

7的点是(?3，?

22

)与(3，?)

解法二：设所求椭圆的方程为?

yb

22

1(a?b?0)

由e?

2

ca

22

b23b1

1?()?，解得?

a4a2

设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d     则d

2

x?(y?

2

32

2

)

2

a?

2

2

ab

22

y?(y?

2

32

)

2

3y?3y?4b?         ??3(y?

12

2

2

94

)?4b?3

1

，则当y??b时 )

2

其中?b?y?b，如果b?    d取得最大值(7)?(b?    解得b?    故必有b?    当y??

127?12

32?12与b?

2

2

2

32

12

矛盾

2

2

时，d取得最大值(7)?4b?3

2

解得b?1，a?2

x

2

所求椭圆方程为

12

4

y

2

1

12

由y??可求得到点P的距离等于7的点的坐标为(±3，?)

小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。

[参考答案]

1. 证明：椭圆

xaa

222

yb

22

1(a?b?0)的两焦点F1(?c，0)、F2(c，0)，相应的准线

2

方程分别是x??

c

和x?

a

c

。

∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率，     ∴

|PF1|x0?

a

2

e，

|PF2|a

2

e。

cc

x0

化简得|PF1|?a?ex0，|PF2|?a?ex0。

点评：|PF1|、|PF2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，|PF1|?a?ex0，|PF2|?a?ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远

（近）点为长轴端点。

2. 解：设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点。     ∵椭圆的准线方程为x?±    ∴

|PF1|254?x

|PF2|254?x

254

，

∵|PF1|?2|PF2|     ∴

2|PF2|254?x

|PF2|254?x

，∴x?

2512

把x?

2512

代入方程

x

2

25

y

2

9

1

得y?±

4

因此，P点的坐标为(

2512

，±

4

)。

点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。   3.

323

解析：椭圆的方程可写成

(x?1)?(y?1)|4x?3y?33|

5

22

12

，

∴

ca

12

①

一个焦点是（－1，1），相对应的准线方程是4x?3y?33?0，     ∴

a

2

c

c?

|?4?3?33|

5

163

8  ②

323

由①、②得a?，∴2a?。

4. 解：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，     ∴a?c?2?

ca

32

3

又e??，

∴a?2，故b?1

y

2

∴椭圆的方程为

4

x

2

1

5. 解：设P（x，y）为椭圆上任意一点，     ∵椭圆的一个焦点是F（1，1），     与它相对应的准线是x?y?4?0，离心率为

2

2

22

，

∴

(x?1)?(y?1)

|x?y?4|

2

22

∴4(x?1)?4(y?1)?(x?y?4)，     即3x?3y?2xy?8?0为所求。

a

2

2

2

222

6. 解：设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为y?±焦点     则

|PF1|y0?

a

2

c

，不妨设F1、F2分别为下焦点、上

ca

，

|PF2|a

2

ca

cc

y0

∴|PF1|?

ca

y0?a，|PF2|?a?

ca

caca

y0

∴|PF1|2|PF2|?(a?    ∵?a?y0?a，

y0)(a?y0)?a?

2

ca

22

y0

2

∴当y0?0时，|PF1|2|PF2|最大，最大值为a2

当y0?±a时，|PF1|2|PF2|最小，最小值为a2?c2?b2     因此，|PF1|2|PF2|的取值范围是[b2，a2]   7. 解：设直线l的方程为y?1??(x?2) ?y?1??(x?2)，?2    由?x2消去y y

1?

t?8

得(t?8)x2?48x?72?8t?0，     由已知，

x1?x2

2

24t?8

2，解得t?4，

∴椭圆方程为

x

2

8

y

2

4

1

8. 解：设M（x，y），由椭圆方程得a?5，b?4，c?3，     ∴e?

35

2

2

2

故16?|MF1|2|MF2|?(a?ex)(a?ex)?a?ex?25?    ∴x=±5。代入椭圆方程，得y?0，

∴所求点M为（5，0）或（－5，0）   9. 解：设A(3cos?，2sin?)，??(0，

2)，

925

x，

2

则B(6，2sin?)，C(6，4)，D(3cos?，4)，

SABCD?|AB|2|AD|?(6?3cos?)(4?2sin?)?24?12(sin??cos?)?6sin?cos?，

t?12

32

2

2

令t?sin??cos?，则t?(1，2]，sin?cos??

4

，SABCD?3(t?2)?9

2)

当t?

2时，Smin?27?122，此时??

，A(2，转载请保留出处，http://www.sodocs.net/doc/c2f64ad9d15abe23482f4d72.html