我为什么会想到这个问题呢，记得有一次我做地理试卷的时候遇到了一道题，就是在一张有经纬网的地图上求两地的距离，也就是求苏门答腊岛两端的直线距离。
这道题我当时不知道怎么做，我只知道纬度每相差1度，实地距离相差111千米；经度每相差1度，实地距离相差111km*cos纬度，但是苏门答腊岛的两端并非在同一条纬线或经线上，一个在西北，一个在东南。所以我直接用勾股定理计算的，虽然我选对了，还是有很多疑问。然后我去请教了一下我的地理老师，他的方法和我的一样，直接用勾股定理计算，但我觉得用勾股定理欠妥。因为，地球表面是个曲面而并非平面，是不能用勾股定理的。事后，我去查了一下资料，原来，地球表面纬度越低，范围越小，就越接近平面，苏门答腊岛位于低纬度地区，所以使用勾股定理计算的和实地距离相差并不是很大，能勉强接受。
但是，如果两地纬度较高，而且相距 又很远怎么办，我想到了这个问题。
如果直接利用地理坐标就能求出两地的距离，是不是更方便？
与其说这是一个地理问题，还不如说这是一个数学问题。
于是我去网上找到了一个可以直接利用地理坐标求两地直线距离的公式：
设两点A、B经纬度分别为(jA，wA)，(jB，wB)，则半径为R球面上两点间的最短距离(大圆弧)为：
弧AB=R*arccos[sin(wA)sin(wB)+cos(wA)cos(wB)*cos(jA-jB)]
但是我并没有就此罢休，我想利用自己学过的中学几何知识利用地理坐标来计算两地的球面距离，刚开始我想的很简单，怎么求也求不出来，所以我只好去请教数学老师了，看看他有没有比较简单的方法。
经过数学老师的讲解，我大概懂一些了，原来这是理科生必学的数学选修课本上的知识，我是文科生，是没有机会学了。在这里我把这个方法分享给大家，可能过程比较复杂，请大家耐心看完！*^_^*
如下图所示，已知地球表面A、B两点的经纬度分别是(120oE，50oN)，(140oW，20oN)，求A、B两点的球面距离。
我们知道，球面并非平面，对于球面三角形，是不能够简单的使用勾股定理的。
那么，我们可以通过什么方法求出A 到B的球面距离呢，A、B两点既不在同一条纬线也不在同一条经线上，显然不能直接使用地理老师教给我们的那套简单的方法去计算。
在大多数情况下，地球表面两个地点往往既不在同一条经线上，也不在同一条纬线上。比如北京和上海，比如伦敦和纽约。如果地图上没有比例尺，只知道这些城市的地理坐标，借助我们中学的几何知识同样可以求出它们之间的距离，你知道吗？(^_-)
如下图，我们以地心为原点建立一个空间直角坐标系，我们把A、B及其所在的经线与赤道的交点和原点O连接起来，构成一个空间几何体，过A、B两点分别作赤道半径OE、OF的垂线，垂足分别为C、D，我们知道，经度是二面角，纬度是线面角，点A的纬度记为α，点B的纬度记为β，B、D两点的经度差记为γ，弧A B所对的圆心角记为φ。A、B所在经线与赤道的交点分别为E、F，连接A、B。
在计算过程中，我们取地球的平均半径6371K M。
图中，α=50°，β=20°γ=100°，O A=O E=O F=O B=6371km，AC丄O E，B D丄OF。
在Rt△AOC中
AC=OA*sin α =6371km*sin50o≈4880.47km
OC=√(OA^2-AC^2)=√(6371^2-4880.47^2)≈4095.20km
在Rt△ODB中，BD=OB*sin β =6371km*sin20o≈2179.01km
OD=√(OB^2-BD^2)=√(6371^2-2179.01^2)
≈5968.78km
在△COD中，根据余弦定理推论得
CD=√(OD^2+OC^2-2*OC*OD*cosγ )
=√(5986.78^2+4095.20^2-2*5986.78*4095.20*cos100o)
≈7818.37km
在梯形ABCD中，过点B作AC的垂线，垂足为G。
AG=AC-BD=4880.47km-2179.01km=2701.46
km
GB=CD=7818.37km
AB=√(AG^2+GB^2)=√(2701.46^2+7818.37^2)
≈8271.93km
根据余弦定理推论得
cos φ =(OA^2+OB^2-AB^2)/(2*OA*OB)≈0.16
故 φ≈80o58′
弧AB=(nπr)/180=(80o58′*π*6371km)/180
≈9003.08km
所以A，B的球面距离约为9003.08km
虽然过程看起来很繁琐，但是只要你用心去看了，你会发现这些方法其实很简单，无非就是我们中学所学过的解三角形，只知道地理坐标就能求出两地的距离，是不是很有意思呢，你不妨也试试。(^_-)
圣德里斯 2016.2.22
,:看懂了，就是余弦定理这些忘了，不知道公式了。
,:做垂线先求梯形边再求三角边，然后三角形边长都知道了再求其角度，然后弧长就出来了。
暖暖:错误的地方，GB=CD
S.T.圣德里斯回复暖暖: 谢谢，已经改了
暖暖回复S.T.圣德里斯: 不用谢，我就是特别喜欢你画的地图
S.T.圣德里斯回复暖暖: 我以为你说特别喜欢我
暖暖回复S.T.圣德里斯: 。。。。
暖暖回复S.T.圣德里斯: 你应该还是个学生吧，我比你大好多
СССР∞:球面三角
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