依托数学思想，有效解决一元二次方程问题

甘肃民勤县第六中学(733399)

王 燕

[摘 要]初中数学题越来越趋于灵活化和复杂化，同时逻辑性和系统性也在不断增强.随着出题者在题型上的把控，学生对看似简单的题型，在求解的过程中往往遇到很多的瓶颈，导致思路紊乱，无从下手，最后丧失信心.这一点尤其在一元二次方程问题中体现得淋漓尽致.在教学一元二次方程时，教师可依托数学思想，引导学生厘清解题思路,从而有效解决一元二次方程问题.

[关键词]数学思想；一元二次方程；初中数学

数学思想方法是将数学知识转化为数学能力的桥梁，而一元二次方程中蕴含着丰富的数学思想方法.因此，在学生求解一元二次方程问题遇到瓶颈时，教师可依托“数学思想”，引导学生厘清解题思路，从而促进学生有效解决问题.

一、分类讨论，茅塞顿开

分类讨论思想在一元二次方程问题中被广泛应用，它让学生进一步明白了问题的实质，学会根据题目的特点和要求，把大的问题转化成小问题来解决.分类时要做到不重不漏，遵循分类按同一标准、逐级进行、同级互斥的原则，最终达到解决问题的目的.

【例1】 关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是( ).

A.k≤-

B.k≥-

且k≠0

C.k≥-

D.k>-

且k≠0

解析：运用分类讨论思想进行求解.当k=0时，原方程为3x-1=0，为一元一次方程，有实数根;当k≠0时，原方程要有实数根，则Δ=b2-4ac=32-4×k×(-1)=9+4k≥0，解得k≥-

.综上所述，当k≥-

时，方程有实数根.故此题选C.

点评：求k的取值范围首先要弄清楚k是什么，其次因为k是二次项系数，所以要进行分类讨论，学会从“数学思想”的角度去思考问题，灵活运用知识点，厘清思路.

二、正反结合，面面俱到

这里所阐述的“正反结合”即“反证法”，在一元二次方程问题中，我们经常会遇到论证某个命题的题型.首先,假设命题不成立，其次推出明显矛盾的结果，最后下结论说命题不成立.从正反两面思考问题，面面俱到，大大减小了题型的难度.学生一旦掌握“反证法”，就可以很好地解决一元二次方程问题.

【例2】 关于x的一元二次方程x2-4x-2(k-1)=0有两个实数根x1，x2，问是否存在x1+x2x1x2的情况，若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.

解析：首先假设存在，由韦达定理得，x1+x2=4，x1x2=-2(k-1)，所以k<>x的一元二次方程有两个实数根，故Δ=(-4)2-4×1×[-2(k-1)]=8k+8≥0，所以k≥-1.综上所述，因为k<>k≥-1没有交集，所以，上述假设不成立，即不存在x1+x2x1x2的情况.

点评：利用“反证法”，轻而易举地解决了棘手的问题，对于这种存在和不存在的题型，我们要在自己的思想里灌输“反证法”的思想，同时要善于观察，找到题目中的隐含条件.对于一元二次方程题型要学会用“反证法”的思想，学会变通，举一反三.

三、数形结合，以形助数，以数赋形

数与形是数学中两个最古老，也是最基本的研究对象，它们之间可以相互转化，尤其是在中学数学中，它们相互联系，有“以数赋形”和“以形助数”之说.数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，进而达到轻松解题的目的.

【例3】 已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图像如右图所示，求关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解.

解析：由题意得，二次函数的对称轴为x=1，与x轴的正半轴交点为(3,0)，所以抛物线与x轴的负半轴的交点坐标为(-1,0)，因此当x=-1或x=3时，函数值y=0，即-x2+2x+m=0，所以关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x=-1或x=3.

点评：此题用到数形结合思想，将复杂的题目简单化，通过图形直观地表达了题目的意思，碰到题目中出现函数的字眼时，学生要学会画出图像，利用图像，结合题目去解答.本题要明白一元二次方程根的关系与抛物线与x轴交点的横坐标的关系.

总之，数学思想在一元二次方程中的运用非常广泛.本文只介绍了几个数学思想，相应的数学思想还有很多，这就需要教师在教学过程中不断地灌输与融入，帮助学生养成良好的数学思维，从而使学生更深刻地认识到数学的奥秘所在，使学生爱上数学！

(特约编辑 安 平)

[中图分类号] G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058(2017)26-0029-01