俞 博1，江祥林1，张 剑2，汪 锋3
(1.江西省交通科学研究院，江西 南昌 330200；2.南京航空航天大学，江苏 南京 210016；3.江苏扬子大桥股份有限公司，江苏 南京 214521)
摘 要：建立了温度场的动态Bayes误差函数，并将动态Bayes参数识别理论引入工程结构温度场参数随机识别问题，推导了相应参数的动态Bayes均值和方差表达式，结合共轭梯度法推导了相应的优化识别计算公式，同时给出了温度场参数动态Bayes识别的计算步骤，通过实例分析得出了若干温度场参数的动态Bayes识别的重要结论。
关键词：温度场参数；动态Bayes识别；误差函数；共轭梯度法
工程结构(RC/PC)在交通、土木和水利工程等领域中有着十分广泛的应用。在影响工程结构材料物理、力学性能的因素中，温度是至关重要的，因此，国内外众多学者，如朱伯芳[1]、H. S. Carslaw[2]等，对工程结构温度场分析方法进行了大量深入的研究。然而，工程结构的温度场受多种不确定因素影响，如工程结构自身温度场参数以及外界气温等，要准确而简洁地确定工程结构温度场参数是比较困难的。工程结构温度场参数往往由现场或室内实验甚至经验得出，有时难以准确地反映实际情况；因此，如能根据不同时刻、不同空间位置温度实测值动态地识别工程结构温度场参数，则可有助于准确地把握温度场参数，以便更准确地对结构的温度场进行评价。事实上，参数识别理论在实际工程中业已得到广泛的应用，尤其是在位移场参数识别方面，已有大量的卓有成效的成果[3-5]。相比之下，温度场参数识别的研究成果尚不多见，朱伯芳开创性地提出了太阳辐射热和混凝土绝热温升下的混凝土温度场参数的识别方法，该法直接根据热传导公式反算温度场参数，具有一定的局限性，如只能对导温系数和表面放热系数进行静态的确定性识别等；M. Nakamure等提出了温度场参数确定性识别的边界元法[6]；B. Weglowski等则针对压力容器提出了瞬态温度场参数的识别和监控技术[7]，这些都属于静态参数识别，不能及时地反映参数变化。
为此，本文就混凝土不稳定温度场，建立温度场参数识别的动态Bayes误差函数，推导动态Bayes均值和方差公式，采用共轭梯度优化方法，提出混凝土温度场参数(导温系数、表面放热系数以及热导率)的随机识别方法，能适时得到温度场参数的均值和标准差，从而反映出待估温度场参数的置信范围。
1.1 温度场常规Bayes误差函数的建立
温度场Bayes参数识别是将温度场待估参数X(导温系数、表面放热系数以及热导率)视为随机变量，在充分考虑参数X的先验均值和方差前提下，根据实测温度资料T*这一后验信息，对系统参数X进行识别。温度场参数X服从正态分布，且其均值和方差已知，即已知温度场参数X的验前分布概率密度f(X)。温度场常规Bayes参数识别就是在已知温度实测值条件分布f(T*|X)和验前分布f(X)的前提下，使得验后分布f(X|T*)取得最大时的系统参数的统计特性即为待求的温度场参数统计特性。根据Bayes定理，有：
f(X|T*)=
(1)
式中，f(T*|X)由极大似然法推出：
L(T*|X)=f(T*|X)=
(2)
式中，m为待估参数的数目。
式1中，f(X)为验前分布，服从高斯分布，表达式为：
f(X)=
(3)
式中，CX,X0分别为温度场参数X的协方差矩阵和均值列阵。
将式2和式3代入式1，有：
(4)
式中，A为与温度场待估参数X无关的量。
对式4两边取对数得常规Bayes参数识别的误差函数：
(5)
由式5知，Bayes参数识别不但考虑了温度实测值的随机性，也考虑了温度场参数X的随机性。
混凝土温度场参数X服从正态分布，且其先验信息的均值和方差分别为：
(6)
Bayes误差函数J对温度场待估参数X的偏导数为：
(7)
温度场T是温度场待估参数X的函数：T=T(X)，将T(X)在X均值点
(8)
式中，敏感性矩阵
(9)
式中
(10)
令：
(11)
由式10可得温度场待估参数X的识别值
(12)
式中，I为单位矩阵。假定参数先验信息X0与系统响应实测资料T*不相关，可得
(13)
1.2 温度场动态Bayes误差函数的建立
由于温度场T是时间t的函数T(t)，如果建立常规的Bayes误差函数，则对每一时刻ti，都需利用温度实测值T*(ti)进行温度场参数X识别，重复工作量大。为此，运用概率统计中的极大似然识别理论，已知系统输出量实测值条件分布f(T*|X)，且每一时刻ti的温度实测资料
(14)
再将式3和式14代入式1，与推导常规Bayes误差函数的方法相似，故温度场动态(因时刻总数n是可变的，故拟称为“动态”)Bayes误差函数J可写为：
(15)
由式15可求出目标函数J对参数X的偏导数为：
(16)
类似式6～式9的推导可得：
(17)
式中
(18)
令：
(19)
(20)
即可得温度场待估参数X的识别值
(21)
式中，T*=
(22)
式中，对角块阵CT*为：
(23)
式中
(24)
式22也可以写成动态Bayes方差的形式(和式形式)：
(25)
在动态Bayes误差函数(式15)和相应偏导数(式16)中
(26)
式中，a为导温系数；b为表面放热系数；λ为热导率；Ta为气温；θ为绝热温升。其中a、b、λ即为待估参数。
温度场有限元控制方程为：
H1T+H2
(27)
式中，H1、H2和H3均为温度场参数的函数。利用抛物线差分公式，上述方程的解为：
(H1+
(28)
式16中的
温度场参数的动态Bayes识别步骤如下。
1)令迭代次数i=0，输入温度场待估参数X初始值；若i>0，取温度场待估参数X的第i次迭代值Xi为初始值。输入待估参数X的先验信息X0。
2)求解温度场有限元方程式，可得所有时刻的温度场T(ti)(i=1,…,n)，并将所有时刻温度场T(ti)代入动态Bayes误差函数式。计算误差函数J在点Xi处的梯度▽Ji=Gi，并计算‖Gi‖
3)如果‖Gi‖
4)如果i=0，则置Pi=-Gi；否则，置Pi=-Gi+
5)一维搜索Pi方向上的步长h，使得J(Xi+1)=J(Xi+hPi)=min；并置i=i+1。其中，采用外推内插法搜索步长h，它能自动寻找h所在区间并进行优化。
6)若i>m，则将参数迭代值Xi+1重新置为初始值X0，转入步骤1继续优化；若i≤m，则转入步骤2继续优化。其中，m为温度场参数的维数。
本文对1个4m×6m×6m的混凝土浇筑块(见图1)的温度场参数(导温系数、表面放热系数和热导率)进行动态Bayes识别。该浇筑块除底面之外，其余各面均处于大气之中(按第3类边界条件处理)。气温
图1 大体积混凝土浇筑块
表1 各时刻考察点的温度均值
(℃)
考察点编号T1T2T3T4T5125．720．318．517．015．7233．528．125．422．720．5334．932．029．426．223．4
表2 各时刻考察点的温度标准差 (℃)
考察点编号σT1σT2σT3σT4σT510．590．490．460．470．4520．440．680．720．840．8830．110．610．871．051．13
初始值a0=5.78×10-7 m2/s，b0=0.29 W/m2，λ0=35.2 W/(m·℃)，将表1和表2中的数据代入温度场参数动态Bayes随机识别程序，温度场参数的迭代过程如图2所示，计算结果见表3。
表3 温度场参数动态Bayes识别结果
参数先验信息初始值结果值相对误差/%标准差变异系数a6×10-75．78×10-76×10-70．000．59×10-70．0986b0．350．290．3460．100．03450．0998λ34．835．234．80．003．470．0998
图2 温度场参数的收敛曲线
由图2和表3可知，用动态Bayes法识别温度场参数的迭代过程是稳定的，且只需要较少迭代次数就能达到收敛要求(导温系数a迭代4次，表面放热系数b迭代4次，热导率λ迭代5次)。
本文提出的动态Bayes随机识别方法可同时计入所有时刻的温度实测资料，这与以前分时刻利用温度实测资料来逐步进行温度场参数识别相比，提高了计算效率。在不增加实测资料精度的前提下，通过工程经验给定较准确参数值作为温度场参数的先验信息，即可在某一小范围内选择初始值，将大大提高参数反演结果的准确程度，从而使参数反演在工程上更具有实用性。温度场参数动态Bayes识别方法同时考虑了温度场参数的随机性和实测温度资料的随机性，不但可以推导出温度场参数的均值，还可以推导出温度场参数的标准差，这些都是其他参数识别方法难以做到的。
本文提出的温度场参数动态Bayes随机识别方法可将各时刻的温度场累计起来识别温度场参数，不需重复计算，效率高，并能同时考虑待估参数随机性和温度实测资料随机性。利用先验信息，经较少迭代次数就能准确识别温度场参数的均值和标准差。本文提出的动态Bayes方法也可在混凝土位移场参数识别等方面应用。
参考文献
[1] Zhu B F. Temperature controlling and thermal stress of mass concrete[M]. Beijing: Chinese Electric Power Press, 1996.
[2] Carslaw H S, Jaeger J C. Conduction of heat in solids[M]. London: Oxford Univ. Press, 1985.
[3] Sun J, Jiang S P, Yuan Y. Stochastic back analysis theory and method of geotechnical mechanics[M]. Shantou: Shantou University Press, 1996.
[4] Gioda G, Sakurai S. Back analysis procedure for the interpretation of field measurements in geomechanics[J]. International Journal for Numerical and Analysis Methods in Geomechanics, 2010, 11(6):555-583.
[5] Ohkami T, Ichikawa Y. A boundary element method for identifying orthotropic material parameters[J]. Num. and Analy. Method in Geomechanics, 1991, 9(15):609-625.
[6] Nakamure M, Tanaka M, Adachi O. Simulation of temperature control for transient heat conduction fields using boundary element inverse analysis[J]. Nihon Kikai Gakkai Ronbunshu A Hen/transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers Part A, 1995, 61(585):974-979.
[7] Taler J, Weglowski B, Zima W, et al. Monitoring of transient temperature and thermal stresses in pressure components of stream boilers[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 1997, 72(3):231-241.
[8] Liu N, Liu G T. SFEM of temperature field of mass concrete structure[J]. Journal of Tsinghua University, 1996, 36(1):41-47.
YU Bo1, JIANG Xianglin1, ZHANG Jian2, WANG Feng3
(1.Jiangxi Transportation Institute, Nanchang 330200, China; 2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016, China; 3.Jiangsu Yangtze River Bridge Co., Ltd., Nanjing 214521, China)
Abstract： Dynamic Bayesian error function of temperature field is founded on the first time in this paper. Dynamic Bayesian estimation theory is applied for the stochastic estimation problem of concrete temperature field parameters. The corresponding formulas of dynamic Bayesian expectation and variance are deduced. The optimization estimation computing formulas are also deduced by adapting gradient method and the computing steps of dynamic Bayesian estimation are given in detail. Though a practical example, some important conclusions about dynamic Bayesian estimation of temperature field parameters are drawn.
Key words: temperature field parameters, dynamic Bayesian estimation, error function, gradient method
中图分类号：U 441
文献标志码：A
* 国家自然科学基金资助项目(11232007)
作者简介：俞博(1982-)，男，博士，高级工程师，主要从事工程结构计算理论与检测等方面的研究。
收稿日期：2017-07-05
责任编辑 郑练
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