孙亚军，王 琪
（太原理工大学 机械工程学院，山西 太原 030024）
摘 要：为了实现空间运动的传递，应用空间RSSR机构解析法中的矢量回转法和旋转矩阵法建立传动杆系与转向梯形的空间数学模型。参考FSAE赛车后悬数据，根据双阿卡曼定理，以转向过程中后轮内外侧实际转角和理论转角偏差的绝对值作为目标函数，应用MATLAB完成空间转向梯形的优化设计，导出转向梯形输入与输出运动关系曲线，根据转向梯形优化后自变量取值绘制传动杆系运动关系曲线，得出后轮转向杆系的角度传动关系，最后利用ADAMS建立仿真模型并进行运动仿真，验证理论分析的合理性，为减速装置（蜗杆传动）的传动设计提供基础。
关键词：后轮转向传动机构；优化设计；RSSR；空间运动学；运动学仿真
车辆转弯时，汽车的四轮转向技术可以改善其低速下的机动灵活性和高速下的操纵稳定性[1]。对于FSAE赛车，如果实现四轮转向，其在蛇形弯道、八字形道等比赛项目上均可提高成绩。赛车前悬架与后悬架采用双横臂悬架，参考前悬转向齿条机构，后悬架只需将束角定位杆拆除加装转向机构即可实现后轮转动。目前针对四轮转向技术的研究多集中于控制方面，目的是通过后轮转动使车辆的质心侧偏角趋于零。而对于转向机构的研究较少，使用空间连杆建立机构可实现后轮转动，后轮转向传动机构包括传动连杆与转向梯形，利用解析法分析空间RSSR机构转动副间的转角关系，根据赛车后悬参数以及双阿卡曼定理应用MATLAB对转向梯形进行优化设计，得出传动连杆与转向梯形间的转角关系，为了验证理论分析的合理性，在ADAMS中建立仿真模型并进行运动仿真，为减速装置的传动设计提供基础。
为使后轮尽可能绕着同一瞬时中心行驶，在两轮间设计转向梯形，以提高行车安全性。赛道路面平整，受到垂向的激励较小，转向杆系的受力主要集中于横向，转向梯形采用整体式转向梯形。传动连杆能将运动传到转向梯形使轮毂转动。含有两个相邻球面副的空间四杆机构在空间连杆机构中应用广泛，一般用RSSR表示，该机构由两个转动副和两个球面副组成，可实现空间杆件输入、输出角度的传递。理论上输入轴与输出轴之间的夹角可成任意角度[2]。后轮转向传动机构转动轴的轴线为异面直线和平面相交直线。后轮转向空间杆件示意图，如图1所示。首先由电机带动减速装置（蜗杆传动）将运动从A点传出，A点为减速装置的输出端，位于后桥差速器之上，通过传动空间连杆1-2-3将运动传到了B点，接着运动又由转向梯形3-4-5将运动传到C点，转向梯形带动转向节使左右轮毂转动。FSAE赛车后悬为双横臂悬架，立柱（主销）由上下控制控制臂外硬点决定。由于主销有内倾角和后倾角，赛车转弯时地面会对轮胎产生力矩，因此转向梯形不是平面机构，而是空间RSSR机构。为了简化机构利于分析，将后轮转向杆系当作两RSSR机构串联，即传动RSSR机构和转向梯形RSSR机构，两机构的连接杆件为左转向臂。分析空间RSSR机构常用建模分析法和解析法，解析法分为矢量回转法[3]和旋转矩阵法[4-5]，当两旋转轴的轴线为异面直线时，用矢量回转法较易分析，当两旋转轴轴线为同一平面的相交直线时，采用旋转矩阵法较简单，后轮转向杆系属于以上分析的两种情况。建立机构模型可以更直观表现空间结构[6]，给出连杆模型，以下采用解析法对两机构模型进行分析，如图2、图3所示。
图1 后轮转向杆系示意图
Fig.1 Schematic Diagram of Rear-Wheel Steering Linkage
图2 传动RSSR机构模型
Fig.2 Mold of Transmission RSSR Mechanism
图3 转向梯形RSSR机构模型模型
Fig.3 Mold of Steering Trapezoid RSSR Mechanism
2.1 传动RSSR机构分析
直角坐标系下，设有两向量
图2中，主销旋转中心为O点；SOD为线段OD的长度；SAE为线段AE的长度；l1为杆AB的长度，传动摇臂旋转轴EA的方向矢量为e→A，主销OD的方向矢量为e→O，传动摇臂旋转中心为A点，球铰中心为B、C点
式中
图 2 中
式中：A=l3 SAE、B=l3（l1 cosθ1+l4）、
输入、输出角度关系为：
2.2 转向梯形RSSR机构分析
当两旋转轴线为同一平面的相交直线时采用旋转矩阵法分析。考虑到后悬主销内倾角，整体式转向梯形为RSSR机构，FSAE赛车后悬架主销后倾角为零度，左右主销在同一个平面内，转向梯形模型，如图3所示。图中转向梯形臂长为m，OC1F1G为初始状态，左侧主销的方向矢量为
3转过φ4，转向梯形运动到OCFG位置，θ0与主销内倾角相等。设点F的坐标为
1程求出F1点的坐标。根据已知条件左右转向臂长度均为m得：
由转向拉杆的长度为定值得：
由右转向臂始终与右主销垂直得：
联立式（5）～式（7）可求得 F1点的坐标。
C、F点与C1、F1点的距离为转向拉杆的长度，且C、F点的位置可由C1、F1通过旋转矩阵求得：式中：（C）=［Rφ3，eO］·（C1-O）+（O），（F）=［Rφ4，eG］·（F1-G）+（G）
［Rφ3，eO］指 OC1绕着e→O转过 φ3所对应的旋转矩阵，且［Rφ3，eO］=［Rθ3，x］·［Rφ3，eO］·［R-θ3，x］，即将转向节臂与主销固联，先绕着 X 轴逆时针转过θ0，然后绕着Z轴顺时针转过φ3，最后绕X轴顺时针转过θ0，经过旋转后转向节臂相当于绕着e→O转过了φ3角。将（8）式整理得：
式中：E=（C-G）T·［I-QeG］·（F1-G），F=（C-G）T·［PeG］·（F1-G），G=（C-G）T·［QeG］·（F1-G）+
转向梯形输入与输出角的关系为：
输出角φ4有两个值，用φ41、φ42表示求得的两个根，设上一个时间间隔求得的角为
3.1 转向梯形优化的目标函数与设计参数
目前针对四轮转向机构优化的研究较少，由阿克曼定理可推得对称双阿克曼转向定理[7]，转向中车轮转向几何关系，如图4所示。
图4 双阿卡曼转向图
Fig.4 Schematic Diagram of the Double Ackermann Steering
根据图中关系推导得出：
式中：α—内轮转角；β—外轮转角；L—车前后轮轴距；B—主销的中心距。
双阿克曼理想状态指全部车轮转向时绕着同一个瞬时中心行驶，这样可以有效减少车轮与地面间的摩擦，延长轮胎的使用寿命，在实际转弯时这种状态无法达到，但设计时越是接近这种状态，转弯性能越好，因此设计时将左转向臂转过一定角度时，右转向臂转过角度的实际值（β′）和理论值绝对值（β）的差值作为评价转向梯形的精度指标，以此为目标进行参数优化，目标函数为：
式中：XV—优化变量
考虑到整车的稳定性，后轮转角不宜过大，限定赛车的后轮左右转角不超过10°。根据公式的推导可得出，影响左右转向臂转角关系的因素为转向梯形底角和转向臂长度。优化过程中约束条件包括几何约束和性能约束，几何约束指传动机构受赛车整体尺寸布局及梯形底角的大小、转向臂长度的限制，性能约束指机构运行中对传动角的约束。
3.2 转向梯形的优化设计与传动连杆的转角关系
FSAE赛车后桥参数：后轮主销中心距为1100mm，前后轴距为1550mm，主销内倾角为3°，主销后倾角为0°，δ为传动角。优化的两个变量设为x1、x2，x1表示转向梯形底角，x2表示转向梯形臂的长度，即 XV=［x1，x2］，变化下界为 lb，上界为 ub，优化满足的条件为：s.t.lb≤XV≤ub，lb=［60°，300］，ub=［75°，400］，δ≥40°
根据解析法推导的公式编写计算程序，使用MATLAB优化工具箱fmincon对转向梯形进行优化[8-9]，优化得到满足目标函数的最小值及其所对应自变量的值，优化结果为XV=［74°，300］，exitflag的返回值为1，fval的值为63.395。MATLAB优化后图线，如图5所示。横坐标表示左转向臂绕主销顺时针转过的角度，转动区间为（-10～10）°，纵坐标表示右转向臂绕主销转动的实际转角与阿卡曼条件下转角关系的曲线。角度为负表示后轮向左转，零度表示平衡状态即后轮不发生转动，角度为正表示后轮向右转动，优化得出右转向臂实际转动区间为（-11.1～9.979）°。
传动机构是将运动从减速装置的输出端传到转向梯形，当优化出转向梯形臂的长度和梯形底角时，据赛车后桥参数SAE=200，l1=100，l3=100，梯形底角74°（即从初始状态位置转到平衡位置l3转过了74°），根据解析法公式用MATLAB编程后得到图6的转角关系图。对应图5，在图6中做出的y=±10°直线，当左转向臂从-10°转到时，传动摇臂的转动区间为（-30.3～33.1）°，需要减速装置输出端传出的转动导程为63.4°。
图5 转向梯形优化结果
Fig.5 The Optimized Result of the Space Steering Trapezoid
图6 传动机构角度传递关系
Fig.6 Angle Drive Relation of Transmission Gear
3.3 RSSR转向机构运动模型的建立与仿真
为验证理论分析的合理性，根据赛车后悬参数及转向梯形优化结果，建立含有两RSSR机构的赛车后悬仿真模型[10]，在ADAMS/View中计算出各硬点的坐标，进入圆柱体建模连接对应硬点坐标。建立好模型后需添加适当的运动副，减速装置的输出轴、两主销与车架（大地）间建立固定副，根据RSSR机构运动副特点在输出轴与传动摇臂间建立转动副，传动摇臂与传动拉杆间建立球副，传动拉杆与左转向臂间建立球副，转向拉杆与转向臂间建立球副。转向节与立柱（主销）固连，转向臂通过耳片与立柱固连，转向臂与主销间建立转动副，并在该转动副上添加STEP转动驱动函数。添加约束与驱动后的模型，如图7所示。
图7 ADAMS仿真模型
Fig.7 The Simulation Model of ADAMS
进行运动仿真后测量出两RSRR机构三个转动副随时间的转角变化，根据测量结果建立转动副特征曲线，如图8、图9所示。仿真结果表明当左转向臂从-10°转10°到时，右转向臂从-9.432°转到10.643°，减速装置输出轴的转动范围为（-30.58～32.72）°，转动导程为 63.3°。
图8 转向梯形左右转向臂转角关系
Fig.8 Angle Transitive Relation of Left and Right
图9 传动机构角度传递关系仿真结果
Fig.9 The Simulation Results of Angle Drive Relation of Transmission Gear
根据FSAE赛车后悬数据，建立后轮转向连杆模型，并将其简化成两RSSR机构的串联机构，通过矢量旋转法和矩阵旋转法对机构进行解析法分析。（1）根据MATLAB优化设计结果，转向梯形臂长300，转向梯形底角为74°，当左转向臂从-10°转10°时，优化后得的右转向臂的转动区间为（-11.1～9.979）°，同时需要传动摇臂从-30.3°转到 33.1°，减速装置输出端的转动导程为 63.4°。（2）为了验证理论分析，建立含RSSR机构的ADAMS仿真模型，并进行运动仿真，仿真结果表明右转向臂的转动区间为（-9.432～10.643）°，减速装置输出端的转动区间为（-32.72～30.58）°，转动导程为63.3°。设计值与仿真结果虽有误差，但在合理范围内，仿真结果验证了理论分析的合理性。（3）由于蜗杆传动有较大的传动比与自锁性等特性，减速传动采用蜗杆传动，根据对后轮转向RSSR机构转角的分析结果，仅需四分之一圆弧导程的蜗轮就可满足传动条件，为减速装置的设计节省了空间，同时也为传动连杆的动力学及受力分析提供了基础。
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Space RSSR Mechanism Optimization Design and Application
SUN Ya-jun，WANGQi
（College of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Technology，Shanxi Taiyuan 030024，China）
Abstract：In order to achieve thetransmissionof spacemotion，employing the vector rotation and rotationmatrix methods of the space RSSR analytic method to establishthe spacemathematical model of the transmission rodsystemand the steering trapezoid.Referring to FSAEtest racing car rear axledata，according to the doubleAckermanntheorem，take the absolute values ofthe rear wheel inward and outward actual steering angles and theoretic steering angle deviation during the steeringprocessas the objective function，use MATLAB to complete theoptimized designof the spacesteering trapezoid，derivethe inputandoutput motion relation curveof thesteeringtrapezoid，drawthemotion relation curveof thetransmission rodsystembased ontheargument values afterthesteeringtrapezoid optimization，and concludethe angle drive relation ofthe rear wheel transmissionleversystem.The ADAMS simulation model is established and kinematicssimulation is done to verify the rationality of the theoretical analysis，to provide the basis for the gear ratiodesign of the reduction gear（wormdrive）.
Key Words：Rear-Wheel Steering Transmission Gear；Optimization Design；RSSR；Spatial Kinematics；Kinematics Simulation
中图分类号：TH16
文献标识码：A
文章编号：1001-3997（2017）12-0027-04
来稿日期：2017-06-13
作者简介：孙亚军，（1990-），男，山西长治人，硕士研究生，主要研究方向：机械设计及理论；
王 琪，（1963-），女，北京人，硕士研究生，硕士生导师，副教授，主要研究方向：机械制图、机械设计及理论
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