颜甜莉，肖 佩，牛子孺，李刚炎
（武汉理工大学 机电工程学院，湖北 武汉 430070）
摘 要：提出一种变比齿条数字设计方法。该方法克服了布尔减运算法不能精确建模的弊端；将变比齿轮齿条副中的渐开线齿轮离散成端截面方向上无限薄的齿轮元的集合，建立了变比齿条齿廓点高度值计算的数学模型；通过布尔减运算建模法确定变比齿条齿廓包络区间及变比齿条各个齿廓点对应的渐开线齿轮转角范围和变比齿条位移范围；采用数值计算方法求解变比齿条齿廓点高度值计算的数学模型，得到变比齿条齿廓点云模型。试制了样件，测试了变比齿轮齿条副的实际传动比，通过理论传动比曲线与实际传动比曲线的对比验证了该方法的有效性。
关键词：变比齿条；齿轮元；布尔减运算；包络区间；数值计算
变比齿轮齿条副是一种实现变化传动比的传动机构，因其独特的传动特性，近年来越来越广泛地应用到各类机械系统中。变比齿轮齿条副由标准渐开线齿轮和变比齿条组成，变比齿条齿廓为非渐开线齿廓，其可看作由渐开线齿轮按照传动比曲线约束的运动规律包络形成，如何精确设计出变比齿条齿廓是制造的前提和关键。目前，特殊齿廓求解方法主要有两种：啮合原理解析法和数值求解法。文献[1]针对直线共轭内啮合泵齿廓设计问题，建立了采用齿廓法线反转法求解共轭齿廓点的数学模型，提出了由啮合线求滑动率、啮合角、压力角的方法;文献[2]基于非对称斜齿轮对的啮合关系，推导了非对称斜齿轮端面、法面、轴面的齿廓方程以及沿齿轮轴向的螺旋曲面方程，建立了参数化的非对称渐开线斜齿圆柱齿轮三维模型；文献[3]提出了用解析法获得椭圆齿轮齿廓的方法；文献[4]在综合分析交错轴变比齿轮副啮合特点的基础上，基于包络原理和齿轮元思想，将变比齿轮副的啮合传动看作齿轮元集合与变比齿轮的啮合，建立了变比齿轮齿廓点高度值计算的数学模型并开发了求解算法，得到了变比齿轮的齿廓点云；文献[5-6]采用包络原理，对特殊齿轮齿面进行了深入研究；文献[7]提出了一种基于共轭原理的弧齿锥齿轮设计方法，推导了啮合方程，建立了弧齿锥齿轮数学模型；文献[8]提出一种带有下凹节曲线的非圆齿轮的设计方法，在球面极坐标系中建立了主动齿轮和从动齿轮的参数方程、齿顶和齿根方程以及交错角方程，并基于包络原理建立了齿廓方程。
综上所述，国内外学者对各种齿轮齿廓的求解进行了深入的研究，提出了多种齿轮齿廓求解方法，但是在变比齿条齿廓求解方面，未做深入的研究，现有的研究存在不足：采用啮合原理推导齿面方程的过程相当复杂，且齿廓边界条件很难精确地处理；由于计算机按照一定的步长做布尔减运算，布尔减运算建模法建立的变比齿廓曲面为非连续曲面，建模精度不高；齿轮法采用数字计算软件计算齿廓点，算法冗长，计算量较大。提出一种基于包络区间的变比齿条齿廓设计优化方法，该方法充分结合布尔减运算建模法和齿轮元法各自的优点，规避其缺点，基于布尔减运算建模法，确定齿轮元法设计中的包络区间，采用数值计算思想，建立变比齿轮齿廓点云模型，通过样件试制和传动特性测试验证了该方法的正确性。
2.1 布尔减运算建模法
布尔减运算建模法，是在三维建模软件中基于包络原理，调用布尔减运算宏程序，仿真齿轮副按照变比曲线约束的传动过程，由渐开线齿轮的包络运动包络形成变比齿条三维实体模型。由于计算机按照一定步长进行布尔减运算，布尔减运算建模法的建模精度不高，建立的变比齿廓有包络残留物，精确齿廓点无法找到，且齿廓曲面是由一系列曲面片组成的非连续曲面，无法用于分析。
2.2 齿轮元法
齿轮元法将变比齿轮齿条副中的渐开线齿轮看成无数个垂直于其轴线的无限接近的平面截切其实体后得到的截平面的集合，每个截面称为一个齿轮元。齿轮齿条副的啮合过程看作是齿轮元的集合与其配对变比齿条的啮合，齿条上某一点处的齿廓点高度就是在啮合过程中过该点且垂直于齿条坯顶面的直线与各齿轮元交点相对毛坯的最小高度。
齿轮元法在计算变比齿条一个截面内每一个齿廓点时，由于未提前确定该齿廓点是由渐开线齿轮哪段齿廓包络去除后形成，都需要计算直线与齿轮元左右渐开线齿廓、齿顶、齿根的交点，而需要计算的齿廓点较多，这样导致整个齿轮元算法尤其冗长，计算量大，耗时长；且齿顶和齿根是非啮合部分齿廓，变比齿条齿顶、齿根部分的齿廓没必要采用复杂的数字计算方法求解，但由于齿轮元法未区分变比齿条左右齿廓、齿顶、齿根，无法避免进行不必要的计算。
2.3 基于包络区间的变比齿条齿廓计算方法
定义布尔减运算建模法中齿轮齿条副的包络运动形成的曲面片在变比齿条齿坯端截面方向上的有效长度为包络区间。基于包络区间的变比齿条齿廓计算方法是基于布尔减运算建模法，确定齿轮元法设计中的包络区间，采用数值计算思想，建立变比齿条齿廓点云模型。如图1所示，首先在CATIA中调用布尔减运算宏程序建立变比齿条模型，确定齿廓曲面上各个曲面片区间即包络区间及其对应的渐开线齿轮转角和变比齿条位移，并作为齿轮元法的输入量，代入建立的数学模型中求解齿廓点，流程，如图1所示。
图1 基于包络区间的变比齿条齿廓计算流程图
Fig.1 Flow Chart of Calculating the Variable Ratio Rack Tooth Profile Base on Envelop Intervals
该方法充分结合布尔减运算建模法直观高效的特点和齿轮元法计算精度高的优点，计算时只需求解变比齿条左右齿廓，不用求解齿根、齿顶部分，避免了不必要的计算；且求解变比齿条坯上某一处齿廓点时，由于可以提前确定该点所在的包络区间，大大缩小了计算范围，规避了齿轮元法计算盲目性，简化了算法。
3.1 变比齿轮齿条副包络区间的概念
变比齿条齿廓段A、B、C，如图2（a）所示。对应的齿廓区间分别为［xlA，xrA］、［xlB，xrB］、［xlC，xrC］，实际上由布尔减运算法建立的变比齿条齿廓曲面是由一系列曲面片组成的非连续曲面，如图2（b）所示。以齿廓段A为例，［xlA，xrA］内包含若干个曲面片，第i个曲面片左、右边线横坐标分别为xli、xri，则区间即为第个曲面片对应的包络区间。
图2 变比齿条截面齿廓、齿廓段A示意图
Fig.2 Sketch Map of Tooth Section and Tooth Profile of Variable Rack Section A
3.2 变比齿轮齿条副包络区间的确定
根据包络区间定义，确定包络区间就是要确定变比齿条模型上各个曲面片边线的横坐标值。在变比齿条模型上可以直观明了地找到各曲面片边线，其端点坐标值可以结合CATIA点测量工具及数据提取技术得到。具体做法如下：首先利用CATIA“测量”工具测量所需的元素，测量结果将显示在特征树里；再利用“创建设计表”将所需的数据结果从特征树导出并保存为txt文件或Excel文件，整理即可得到所有包络区间［xli，xri］。
由于渐开线齿轮转角和变比齿条位移的关系满足：
所以：
变比齿条模型每个齿廓段由若干曲面片构成，每个包络区间［xli，xri］对应于一个单步位移值和一个单步转角值。如图3所示，以变比齿条齿廓段A为例，每一次包络动作形成一个曲面片，特征树里每一个“移除”对应一个包括区间，而“平移-gt;长度”显示了本次包络动作相比上次包络动作的齿条单步位移值，该值通过CATIA“创建设计表”可自动导出。以“移除.2”为例，如图3（a）所示，由“平移.4-gt;长度=0.891mm”可知，在包络形成“移除.2”曲面片前齿条单步位移是0.891mm，相应的齿轮转角由式（3）求得。
图3 特征树显示名称与齿条齿廓曲面片的对应关系
Fig.3 Corresponding Relationship Between the Feature Tree Display and the Surface Patches of the Variable Ratio Rack Tooth Profile
4.1 变比齿条齿廓点高度值计算的数学模型
基于齿轮元法，求解齿条齿坯上一点处的齿廓点高度值需要求解过此点且垂直于其待加工表面的直线随此点一起运动时与相交的瞬时齿轮元左侧或右侧渐开线交点值，如图4所示。建立如图所示的坐标系，坐标系和的原点在渐开线齿轮中心，且坐标系与齿轮元固连，建立交点求解方程组如式（4）。
图4 齿轮元转过角度时的几何关系图
Fig.4 Geometrical Relation Diagram of Gear Element Turning Angle
由于齿廓段A、B、C由渐开线齿轮不同侧的齿廓段包络形成，求解变比齿条右齿廓段A、C的齿廓点高度值即求解直线l与相交的瞬时齿轮元右侧渐开线交点z值，方程组取负号；求解变比齿条左齿廓段的齿廓点高度值即求解直线l与相交的瞬时齿轮元右侧渐开线交点z值，方程组取正号。
式中：∂—齿轮元渐开线上任意点处的压力角；u—齿轮元边界上任意点的极角；φ—齿轮元瞬时转角；Rb—齿轮元基圆半径；xM—初始时刻变比齿条齿坯顶面上任意一点M的横坐标值；s—某一瞬时变比齿条齿坯在坐标系xoz中的位移；θm（i）—齿轮元第i个齿上渐开线齿廓与齿根圆交点的极角。
4.2 变比齿条齿廓点高度值的计算算法
以变比齿条齿坯顶面上任意点M为例，首先在如图5所示的坐标系中确定其初始时刻的横坐标值xM，过xAl作一条平行于z轴的直线如图6所示，该直线会与布尔减运算切出来的第i个曲面片相交，由于齿轮副传动过程是连续的，所以点M在变比齿轮副传动过程中对应的齿轮转角和变比齿条位移一定在区间［φi-1，φi+1］及［si-1，si+1］之间。再按照一定步长将位移区间［si-1，si+1］离散化，对应的齿轮转角离散值通过式（3）求得。
图5 变比齿条齿廓点求解示意图
Fig.5 Sketch Map of Solving the Variable Ratio Rack Tooth Profile
将xAl、齿条位移离散值sj及齿轮转角离散值φj代入式（4），采用MATLAB中的fsolve函数求解出对应的∂和μ值，采用solve函数求解出相应的z值，计算结果中最小的z值即为点M对应的齿廓点高度值。fsolve和solve函数的初值即为M过的随动直线与包络区间内变比齿条齿廓交点的z值，可通过提取建模过程中的数据得到，其它参数可以根据计算要求设定。变比齿条某个齿廓段齿廓点计算流程，如图6所示。
图6 某个齿廓段齿廓点计算流程图
Fig.6 Flow Chart of Calculating the Rack Tooth Profile Point of One Tooth Profile Segment
下面给出一个设计实例，变比齿轮齿条副中渐开线齿轮的参数，如表1所示。传动比曲线表达式，如式（5）所示。
表1 渐开线齿轮相关参数
Tab.1 Related Parameters of the Involute Gear
名称 压力角 模数 齿数 齿顶高系数 顶隙系数 变位系数符号 α m z ja c* x数值 27.5° 8.5 11 0.8 0.3 0.5*
首先在CATIA环境中，设定渐开线齿轮每转动1°实施一次布尔减运算，建立变比齿条初始模型，以变比齿条右齿廓段A为例，通过“创建设计表”提取包络区间端点x坐标值及各个包络区间对应的变比齿条位移值，如表2所示。
表2 包络区间及对应的齿条位移
Tab.2 Envelope Intervals and Corresponding Rack Displacement
曲面片编号i 包络区间［xli，xri］ 齿条位移Si 1［30.518，30.668］ -23.754 2［30.668，30.876］ -24.608 3［30.876，31.098］ -25.466 4［31.098，31.333］ -26.328 5［31.333，31.583］ -27.194 6［31.583，31.848］ -28.063 7［31.848，32.126］ -28.935 8［32.126，32.418］ -29.81 9［32.418，32.725］ -30.688 10 ［32.725，33.045］ -31.569 11 ［33.045，33.378］ -32.452 12 ［33.378，33.724］ -33.337 13 ［33.724，34.082］ -34.224 14 ［34.082，34.451］ -35.113 15 ［34.451，34.830］ -36.003
本实例中，变比齿条齿坯顶面的离散步长为ΔxM=0.3mm，各包络区间确定之后，即可判断任意离散点M落于哪个包络区间内。以离散点M（xM=32.0000）为例，由上表查得该点对应包络区间［xl7，xr7］，所以该点对应的齿条位移区间为［s6，s8］。采用建立的数学模型即可得到zM的集合，取minzM存储。计算精度方面，本实例计算时取Δs=0.03mm。因为变比齿条齿廓关于中间齿齿槽对称面对称，故只需计算变比齿条一侧的齿廓点云，三维点云图，如图7所示。
图7 变比齿条一侧的左右齿廓三维点云图
Fig.7 3D Cloud of the Variable Ratio Rack Tooth Profile Points
在已得到的变比齿条左右齿廓曲面基础上，补上变比齿条齿根平面和齿顶平面，并进行对称处理，即可得到整个变比齿条点云模型。
根据变比齿条齿廓计算点云，试制了变比齿条样件，如图8所示。并根据相关工程背景设计并搭建了传动比测试系统，对变比齿轮齿条副进行了测试[9-10]，如图9所示。设定测试工况为：变比齿轮齿条副中渐开线齿轮的转速为0.41rad/s，在传动过程中在变比齿条上加载300n的阻力载荷。将测试得到的传动比数据绘制成图表，并与设计用传动比曲线进行对比，如图10所示，可以发现测试数据的整体分布趋势能较好地跟随理论传动比曲线，从而验证了该设计方法的有效性。
图8 变比齿条样件
Fig.8 Variable Ratio Rack Sample
图9 传动比测试系统实物图
Fig.9 Testing System Physical Diagram for Transmission Ratio
图10 实际传动比曲线与理论传动比曲线对比图
Fig.10 Comparison Chart of the Theoretical Transmission Ratio Curve and the Actual Transmission Ratio Curve
（1）基于变比齿轮齿条副啮合传动特性和数值计算方法提出一种基于包络区间的变比齿条齿廓设计方法，推导了此方法的相关公式，建立了求解变比齿条齿廓点的数学模型。
（2）基于布尔减运算建模法，定义了变比齿条的包络区间，设计了变比齿轮齿廓点云计算优化算法，通过求解建立的数学模型，得到了变比齿条齿廓点云。
（3）对传动特性相关参数进行了测试与分析，验证了该方法的有效性。
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An Optimal Method for Designing the Tooth Profile of Variable Ratio Rack
YAN Tian-li，XIAO Pei，NIU Zi-ru，LI Gang-yan
（School of Mechanicalamp;Electronic Engineering，Wuhan University of Technology，Hubei Wuhan 430070，China）
Abstract：A digital design method for variable ratio rack was put forward in this paper.This method overcomes the problem of Boolean subtraction operation method that it can’t model accurately.The mathematical model for calculating the tooth profile point height values of the variable ratio rack was established by considering the involute gear of the variable ratio gear pair as a set of some infinitely thin gear elements.The variable ratio rack envelopment intervals were determined based on Boolean subtraction operation，and the corresponding involute gear angle range and variable ratio rack displacement range of every single tooth profile point were solved out.The established mathematical model was solved by numerical calculation method and the variable ratio rack point cloud model was obtained.Besides，the variable ratio gear pair sample was trial-produced，and the effectiveness of this method was verified through comparation of the theoretical transmission ratio curve and the actual transmission ratio curve.
Key Words：Variable Ratio Gear；Boolean Subtraction Operation；Gear Element；Envelop Interval；Numerical Calculation
中图分类号：TH16；TQ026
文献标识码：A
文章编号：1001-3997（2017）11-0114-04
来稿日期：2017-05-14
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51305313）；湖北省重大科技创新计划资助项目（2013AAA015）
作者简介：颜甜莉，（1991-），女，湖北洪湖人，硕士研究生，主要研究方向：机械工程；肖 佩，（1962-），男，湖北武汉人，博士研究生，教授，主要研究方向：产品数字设计技术
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