AFC在超精密加工中的谐波干扰控制研究

李 捷

（广东金融学院 互联网金融与信息工程系，广东 广州 510521）

摘 要：为了提高微阵列表面自由曲面的超精密加工应用中的跟踪精度和抗干扰性，对周期性谐波扰动信号的观测结果作出实时估计和补偿，设计了一种自适应前馈误差消除（AFC）控制器。首先，分析了傅立叶级数的正弦和余弦信号组成影响系统的周期性谐波扰动信号。其次，详细地推导了自适应前馈误差消除算法，得出传递函数。然后，以自适应前馈误差消除控制器作为前馈控制器，应用PID作为反馈控制器，设计了复合控制器，并解释了工作流程。最后，数字仿真实验显示，自适应前馈误差消除控制具有较好的控制效果。

关键词：微阵列表面自由曲面；超精密加工；自适应前馈误差消除算法

1 引言

超精密加工标志着一国制造业的尖端水平。当今世界上先进的加工精度水平已经达到纳米尺度。对于加工有微阵列表面、表面粗糙度纳米级、面形精度亚微米级的自由曲面，加工设备需具有高次轨迹联动控制能力、良好的高频动态响应性能和高分辨率[1]。针对这一需求，使用超精密金刚石车削加工效果较好，这种加工方法具有结构简单、高频响、高刚度、高定位精度的特点，能满足纳米尺度的加工精度要求。

超精密加工的关键技术是高精度的运动控制，是一种闭环位置随动系统，应能驱动刀具根据给定的输入轨迹做精密运动，同时应具有消除对刀具运动的各种干扰的能力[2]。其中一个关键研究方向是消除主轴系统产生的一系列谐波成分组成的周期性扰动信号，研究者提出内模原理的误差消除方法，内模原理即控制器包含外部激励信号的模型，当输入激励信号时，控制系统可以抑制外部信号[3]。以内模原理为基础的重复控制器[4]可以提高特定频率上谐波信号的控制性能，跟踪周期参考轨迹信号，以及减小周期干扰信号。内模原理在理论上比较完善，是一种简单的学习控制方法，但其学习能力的有限性。重复控制具有的延迟环节，对跟踪误差的调节作用滞后一个工频周期，重复控制可能会放大非重复频率处的干扰信号。因而两种方法虽然理论价值比较高但实际应用范围的比较局限。

在重复控制基础上发展出的自适应前馈误差消除方法（Active Feedforward Cancellation），文献[5]提出利用AFC算法可以把控制器的极点定位在某些选取的频率上，其等效增益非常大，但在别处非常小，可以渐进跟踪和消除选取的频率上的扰动。文献[6]研究把AFC应用在跟踪快刀伺服器的轨迹。文献[7]使用AFC算法使受控对象峰峰值误差降低到2μm，MSE是0.2μm。系统的跟踪误差降低了1/2。文献[8]提出在车削的控制中应用一种循环视角下的AFC控制。文献[9]讨论了在谐波驱动系统的转矩脉动中的AFC应用。

这种方法与传统控制算法结合应用于系统能获得良好的效果，在超精密加工系统中的应用有广阔的前景。

2 周期性谐波扰动信号分析

理论上，扰动在频域分析中都是以某个频率和幅度出现的。扰动信号中，主轴系统产生的一系列谐波成分组成的周期性扰动信号。某一谐波频率上的信号形式表示如下：

即傅立叶级数的正弦和余弦信号组成影响系统的周期性谐波扰动信号。总的谐波扰动信号由各频率上的扰动信号叠加组成。对应地，控制器必须能够自适应地检测误差分量，然后进行估计并补偿的扰动的幅度和相位。对于式（1），令a^=an，b^=bn可以无误差地估计扰动输入，就可以精确地跟踪或消除频率为ωn的正弦信号。

3 自适应前馈误差消除算法

3.1 AFC算法推导

针对上节对于周期性谐波扰动信号的分析，可以采用一个AFC控制器来对应地消除。如图1所示，AFC算法的输出主要是相位移动了的正弦信号，采用一对正弦曲线来检测误差成分的频率，并估计幅度。AFC算法的输出是相位移动了的正弦信号。下面将对AFC算法的输入、输出关系进行分析和推导。

图1 AFC的结构
Fig.1 Structure of AFC

从图1可以看出，控制输出方程式如下：观察上式，有一个实轴零点s=-ω

，一对复共轭极点s=±jωn，处于稳定状态。这种控制结构满足正弦信号在频率为ωn的正弦信号的内模原理，其作用是针对性的消除某一特定频率的信号，也就是一种窄带滤波器。

因此，可以精确跟踪及消除频率为ωn的正弦扰动信号。因此，AFC控制器在理论上可以精确地跟踪以及消除以主轴频率为基频的傅立叶级数的正弦和余弦信号组成影响系统的周期性谐波扰动信号。

3.2 AFC并联结构

实际应用中，为了消除以主轴频率为基频的傅立叶级数展开的多重谐波项扰动，即式（2）所表示的情况，一般可以用数个AFC单元组合成并联结构的AFC控制器，如图2所示。

图2 多AFC并联结构
Fig.2 Multi-AFCs Units Parallel Structure

每一个单元用于消除一个傅立叶级数展开的谐波成分。其传递函数是各AFC单元的传递函数之和。

把AFC放到控制器中，相当于在控制相应频率上的谐波信号时，控制系统的增益为无穷大，使系统在该频率上的跟踪误差趋于0，达至跟踪和消除相应频率的谐波成分的效果。并联结构中AFC单元个数可根据取（5～8）个，因为其后的谐波成分对整体性能影响不大，可以忽略。

3.3 AFC参数整定原则

决定AFC控制器效果和性能的关键因素是相位φn和增益gn等参数的确定。以下讨论这两个参数的确定原则、方法以及步骤。

3.3.1 相位φn的确定

由式（9），AFC控制器的零点位置，可以通过使用相位φn来调节。应该按照性能要求，选择适当的φn使相位裕度处于最大位置。在 s=jωn时令平均相位角∠C（jωn）=-φn。

为了得到系统的最大相位裕度，应把系统在ωn处的AFC控制器和被控对象的相位角P（jωn）的中心点设置为0，定义为∠P（jωn）=φpn。因此在共振频率上，系统的相位在±90°之间。系统的平均相位可表示为∠［C（jωn）P（jωn）］=-φn+φpn=0。所以，应设置φn=φpn。被控对象的相位角φpn可以通过分析系统Bode图和根轨迹图得到。

3.3.2 增益gn的确定

为消除干扰，应设置每个AFC单元增益gn处于最大状态。设有N个并联AFC单元组合，则频率ωn、相位φn和增益gn之间的关系应由下面的公式确定：

由式（10），只要先通过根轨迹图找出AFC控制器的增益g1，另外的（N-1）个gn可以计算出来。

综上，为N个并联AFC单元组合选择合适的参数的整定方法如下：

（1）对每个单元设置φn=∠P（jωn）以取得最大相位裕量；

（2）设置初始增益统一。

（3）计算∠［C（jωn）P（jωn）］，并确定最小增益裕量。

（4）由式（10）计算增益。

（5）确定在步骤3中发现的最小增益裕量与所需的增益裕量之间的比率。

（6）给所有在上一步中发现的AFC单元增益的比率划定范围。

（7）重新计算和绘制∠［C（jωn）P（jωn）］以验证稳定裕量。

（8）最终确定N个相位φn和增益gn参数。

4 控制系统设计

由于AFC在选定的频率上等效增益非常大，而别处非常小，它通常在实际系统中的宽频部分中与的其他控制器结合。根据AFC算法的特点，控制器可在理论上跟踪和消除选定频率上的误差，非常适合用来作为针对预先选定频率干扰的前馈控制。超精密加工应用对精度要求较高，仅开环控制精度不足，需要使用闭环控制。闭环结构中反馈环节通过测量被控制对象的变化，用以修正输出。

PID有技术成熟、原理清晰、结构简明、参数个数少、比较容易整定等优点，是最常用的控制系统之一。本研究中的主控制器采用PID作为反馈控制器，而辅助控制器用AFC前馈控制器，整合两种方法的优势，设计的复合控制系统，设计控制系统，如图3所示。

图3 AFC前馈和PID反馈控制结构
Fig.3 Block Diagram of AFC Feedforward and PID Feedback Controller

跟踪控制系统中，来自AFC前馈回路的信号ud（kT），是基于参考位移值在选定频率上的误差控制信号。另一方面，比较上一时刻的参考位移值和实际位移值得到e（kT），输入PID反馈控制器，从而得到控制信号u（kT），可纠正的不确定性和干扰。

计算机控制是一种采样控制，不能像模拟控制那样连续输出控制量，需要离散化的输入和输出信号。离散化的数字PID算法用求和替换积分，用增量式替换微分，其表达式如下：

式中：T—采样时间；KP—比例系数；KI—积分系数；KD—微分系数。

5 数字仿真结果及分析

5.1 仿真条件设定

仿真分析采用正弦周期信号，模拟加工中刀具沿轴向的运动轨迹，参考输入信号x（t）=0.3sin1200t。为测试控制系统抗干扰性能，加入幅值不超过正负0.02的随机信号模拟噪音信号，并模拟主轴系统产生的一系列谐波成分组成的周期性扰动信号。以主轴频率为基础频率的谐波干扰信号是d（t）=0.05sin600t+0.01sin1200t+0.02sin1500t。干扰信号波形，如图4所示。

图4 干扰信号
Fig.4 Disturbance Signal

设超精密加工金刚石车削中主轴转速为600r/m。根据上节的规则，估算周期性谐波扰动信号以主轴频率为基频的5个频率的参数。据此，我们设计包含5个单元的AFC控制器，表1列出了AFC控制器各单元的频率、增益和相位。

表1 AFC控制器的参数
Tab.1 Parameters of AFC Controllers

n ωn（Hz）gnφn（rad）1 95.5 1.51 -0.0995 2 191.1 1.89 -0.1987 3 286.6 1.93 -0.2968 4 382.2 1.93 -0.3932 5 477.7 1.99 -0.4889

5.2 仿真结果分析

在输入信号x（t）和干扰信号d（t）的作用下，AFC前馈及PID反馈控制系统对轨迹的跟踪效果以及产生的误差，如图5、图6所示。观察图5和图6，在约0.1s前，有较大幅度的调整，最大超调是约（±0.1）μm。在系统稳定之后，对比图4的干扰信号，控制器能使跟踪轨迹的误差幅度在（±0.04）μm内，没有明显的周期性干扰影响。从实验可看出，AFC方法具有较好的跟踪精度，可以消除特定频率的谐波扰动信号。但要通过一定时间的超调量调整期后才能得到较佳精度，经过调整期的延迟才能发挥最佳作用。

图5 参考信号和跟踪轨迹
Fig.5 Reference Signal and Tracking Trajectory

图6 控制误差
Fig.6 Tracking Errors

6 结论

针对超精密加工控制系统，采用自适应前馈误差消除算法和PID复合方案，对实现对系统中周期性谐波扰动进行消除，从而抑制其对刀具运动的干扰。通过仿真证明，自适应前馈误差消除算法可以比较精确地跟踪以及消除主轴系统产生的，基频是主轴频率的傅立叶级数的正弦和余弦信号组成影响系统的周期性谐波扰动信号。下一步工作是研究缩短调整周期，使系统可在极短时间内达到较好的跟踪性能。

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On Controlling of Harmonic Disturbance with AFC in Ultra-Precision Machining

LI Jie
（Department of Internet Finance and Information Engineering，Guangdong University of Finance，Guangdong Guangzhou 510521，China）

Abstract：To improve tracking accuracy and robustness in ultra-precision machining for the microstructured freeform surface，a active feedforwardcancellation（AFC） controller was designed.It can make real-time observations to estimate and compensate for periodic and harmonic disturbances.Firstly，an analysis of the Fourier series harmonic sine and cosine of periodic disturbance signals affecting the system was given.Secondly，a detailed derivation of AFC was given.And its transfer function was obtained.Byusingthe AFC as the feedforward controller，combined with PID as the feedback，a composite controller was designed.And the working procedure was explained.Digital simulation results showed that AFC had good controlling quality.

Key Words：Microarray Freeform Surface；Ultra-Precision Machining；Active Feedforward Cancellation（AFC）

中图分类号：TH16；TP273

文献标识码：A

文章编号：1001-3997（2017）11-0198-03

来稿日期：2017-05-20

基金项目：广东省引进创新科研团队计划（201001G0104781202）；广东高校省级重点平台和重大科研项目（2015KQNCX104）；广东金融学院科研课题（15XJ02-04）

作者简介：李 捷，（1977-），男，广东江门人，硕士研究生，副教授，主要研究方向：微纳加工装备及控制技术