王长科，阳光武，朱 涛
（西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都 610031）
摘 要：首先介绍了灵敏度分析的基本原理，然后基于一维波动方程，导出了标准梁的扭转振动频率方程，结合列车车体中空薄壁型腔截面的特点，根据不同位置的截面特性，将车体分成多段等截面梁，以获取不同车体分段的截面信息。运用刚度串联原理，引入与车体结构特征密切相关的修正系数，得到车体的一阶扭转振动频率方程。以某型高速列车为例，公式的解析计算结果与有限元结果的误差为-2.036%，在工程误差要求范围内。最后，以该解析公式为依据，选取了车体的8组设计参数对车体进行了灵敏度分析，并得到了对车体扭转振动频率影响较大的4组设计参数，为列车车体设计相关工作提供了设计参考依据。
关键词：灵敏度；波动方程；扭转振动；刚度串联；列车车体；设计参数
列车在线路上运行时，车体将承受各种动、静载荷，受力情况十分复杂，TB/T 1335-1996[1]、EN12663[2]标准及欧洲铁道协会（ERRI）报告[3]均对车体的刚度提出了明确的要求。车体轻量化对运行速度、承载空间及乘坐舒适度都会有一个极大的提升[4]，但盲目轻量化将使车体付出巨大的刚度代价[5]，致使其与转向架构架自振频率接近，降低乘坐舒适度[6]，同时，将导致车体振动过大，产生较大噪声，使车体局部变形过大，缩短车体疲劳寿命，恶化车辆运行品质，甚至威胁行车安全。
车体的扭转振动是车体刚度的重要参数指标，文献[7]指出，车体是一个多门、窗开孔的结构，该结构严重削弱了筒形壳体结构抗扭强度和刚度，点明对车体进行扭转载荷工况下的强度试验及计算的必要性。文献[8]探究了电力机车车体顶盖对车体固有频率的影响，指出顶盖对车体扭转振动频率影响较大，但对车体垂向弯曲振动频率影响较小。文献[9]分析了轿车白车身组成部件对整车刚度的贡献情况，结果表明白车体对整车刚度的贡献达到60%以上。掌握车体参数对车体扭转振动频率的影响程度能够避免设计工程师工作的盲目性，对其抓住关键问题、提高工作效率是十分重要的。而要找到车体参数与扭转振动频率的关系，就应对车体进行灵敏度分析。提出一种基于灵敏度分析的车体扭转刚度优化策略，采用对关键参数的相对灵敏度分析，确定关键设计变量对系统响应的影响，从而得到结构设计变量（车体结构关键参数）对目标值（车体一阶扭转振动频率）影响的变化梯度。
灵敏度是一个广泛的概念，灵敏度即求导信息，灵敏度分析是一种度量，是一种评价因设计变量或参数的改变而引起结构响应特性变化率的方法[10]。从数学意义上可以理解为：若函数F（x）
前者为一阶微分灵敏度，后者为一阶差分灵敏度[11]。振动频率对设计变量的灵敏度反映的是设计变量或者设计参数的改变对目标值的影响。由多自由度振动系统的振动方程[12]可得：
式中：K—刚度矩阵；ω—频率；M—质量矩阵；φ—主振型。
对设计变量xi（i用于区别不同变量x）求偏导，得：
式（3）左乘φT，又K为对称阵，整理为：
式（4）中
将振型向量对质量矩阵作归一化处理，即ωTMφ=1，则进一
固有频率
3.1 扭转频率计算公式的修正
由于车体结构庞大而复杂，不能直接应用现有的理论公式，须根据车体特征对现有公式进行修正，使其能够针对车体进行准确的计算。由一维波动方程结合自由标准梁的初始条件，得其一
式中：l—标准梁长度（单位：mm）；G—剪切弹性模量（单位：MPa）；It—截面扭转常数；ρ—体密度（单位：t/mm3）；Ip—截面极惯性矩（单位：mm4）。
将式（8）做如下变形：
令 K=G·It/L 为刚度，J=ρ·l·Ip为转动惯量。
车体并非规则结构，计算时需按端墙，车门，车窗及完整车廓等特征对车体进行分段，然后对每段的K与J分别进行计算，运用串联原理，得到整车的等效刚度Kc和等效转动惯量Jc：
则车体的扭转振动频率为：
车体侧墙的门窗结构会降低车体抗扭刚度，引入截面有效
式中：le-车体闭合截面的总长度（单位：mm）。整车的等效刚度修正为
车体侧墙的门窗开孔会破坏截面的封闭特征，使得扭转常数为0。但由于相邻闭合截面的约束作用，该部分将提供一定的扭转刚度。采用一种非闭合截面虚拟扭转常数的近似计算方法。闭合薄壁截面（a），其面积是截面（b）-截面（c）。已知截面（a）的扭转常数为I空，截面（b）的扭转常数为I外，截面（c）的扭转常数为I内，如图1所示。但三个截面的扭转常数并不遵循面积的关系，其比值：
图1 闭合薄壁截面示意图
Fig.1Closed Thin-Walled Sections
具有相同外部尺寸的开口截面，如图2所示。三个截面依然遵循面积关系。已知截面（b）的扭转常数为I外，截面（c）的扭转常数为I′内。利用闭合截面三个扭转常数的比值关系，规定开口截面
图2开口薄壁截面示意图Fig.2Open Thin-Walled Sections
车体门窗高度也会影响车体一阶扭转振动频率，因此引入
式中：h—车体高度（单位：mm）；hm—车门高度（单位：mm）；hc—车窗高度（单位：mm）。
门窗处截面的虚拟扭转常数式（15）除以系数km或kc进行修正。计算整车极惯性矩时，需应用平行移轴公式[14]将各截面的对于其自身形心的极惯性矩向整车形心进行等效。
3.2 实例验证
以某型高速列车为原型，去除局部特征，得到其三维模型如图3所示。解析计算需按端墙，车门，车窗及完整车体轮廓等特征对车体进行分段，并获取车体各分段的截面信息，分段方法，如图4所示。
图3 某型高速列车车体模型
Fig.33D Model of High-Speed Train
图4 某型高速列车分段示意图
Fig.4Subsections of the Car-Body
用整车模型建模的方法，将车体离散为六面体及五面体共4099922个实体单元和6981858个节点，单元类型为SOLID185，单元大小为30mm，车体材料的弹性模量为69000MPa，材料密度为2.7e-9t/mm3，泊松比为0.3。应用ANSYS计算车体的自由模态，得到车体一阶扭转振动频率为22.05Hz，计算结果，如图5所示。按上述解析方法得到车体一阶扭转振动频率为21.601Hz，与有限元结果的误差为-2.036%，证明以上对于车体关键参数的分析的有效的，可以上述修正公式对该车体进行灵敏度分析。
图5 有限元计算结果
Fig.5Finite Element Calculation Result
对车体的一阶扭转振动频率解析公式的修正过程即对影响车体扭转振动频率的关键参数的分析过程。为了确定这些关键参数（设计变量）对于车体扭转振动频率（目标值）的影响程度，须对其进行系统的灵敏度分析。采用的分析类型为相对灵敏度[15]分析方法，其表达式为：
影响车体一阶扭转振动频率的因素主要有：车体长度，车门宽度，车窗宽度，车门高度，车窗高度，车体重心垂向高度，车体抗扭刚度及扭转常数。以3.2节所示高速列车的车体参数为基准，假设原设计变量为a，向下调整10%后变为0.9a，则其相对变化量为（a-0.9a）/a=10%。取该高速车车体长度参数为例，使其在1倍车长到0.9倍车长范围内变化，其一阶扭转振动频率随车体长度的变化，如图6所示。
图6 车体扭转频率随车长变化趋势图
Fig.6Trend of Torsional Frequency With the Train Length
目标值（一阶扭转频率）随设计变量（车体参数）的变化及灵敏度，如表1所示。
表1 目标值变化及灵敏度
Tab.1Changes of Targets and the Sensitivities
序号 设计变量 设计变量相对变化量目标值初始值（Hz）目标值最终值（Hz）目标值相对变化量相对灵敏度1车体长度 10% 21.60124.0012-0.1111-1.1112车门宽度 10% 21.60121.8967-0.0137-0.1373车窗宽度 10% 21.60121.7338-0.0061-0.0614车门高度 10% 21.60122.7126-0.0515-0.5155车窗高度 10% 21.60121.7953-0.0090-0.0906车体重心垂向高度 10% 21.60121.44080.00740.0747车体抗扭刚度 10% 21.60122.7696-0.0541-0.5418扭转常数 10% 21.60120.49260.05130.513
表1中的相对灵敏度负值表示随着设计变量的减小（或增大），目标值相应增大（或减小），正值表示随着设计变量的减小（或增大），目标值相应减小（或增大），数值绝对值的大小表示目标值对设计变量敏感程度的大小。车体关键参数的灵敏度，如图7所示。
图7 车体参数灵敏度
Fig.7Sensitivities of Car-Body Parameters
以一维波动方程修正得到了车体的一阶扭转振动频率方程，并以此为依据，对某高速列车车体进行了灵敏度分析，得到以下结论：
（1）门窗开孔位置由于破坏了截面的封闭特征，该处截面将无法获得扭转常数，但由于相邻截面的约束作用，该部分车体也将提供一定的扭转刚度。因此，如何虚拟非闭合截面的扭转常数是得到准确修正公式的关键。
（2）在列车车体的众多参数中，对其一阶扭转振动频率影响最大的四个参数的排序分别为：车体长度，车体抗扭刚度，车门高度及扭转常数。
（3）在车体优化设计工作当中，应把握车体重点参数，合理匹配车体关键参数，避免以经验设计为导向的设计思路。提出的解析计算方法及得到的结论，具有一定的工程参考价值，但当前阶段的研究对象只针对大型中空铝合金型材车体，更复杂车体对该方法的适应性还需进一步评价。
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Sensitivity Analysis of Car-Body Torsional Vibration
WANG Chang-ke，YANG Guang-wu，ZHU Tao
（State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Sichuan Chengdu 610031，China）
Abstract：First，the sensitivity theory is introduced.Then，based on the one-dimensional wave equation，the frequency equation of the standard beam is obtained.According to the structure feature，the train car-body is divided into some parts to get their cross-sectional information.With the stiffness tandem principle and some related correction factor，first order torsional vibration frequency equation of car-body is obtained.Taking a car-body of high-speed train，for example，the error of analytical calculation result with the finite element result is-2.036%，which is within the error scope of engineering requirements.Finally，8set of design parameters are selected to do the sensitivity analysis based on the analytical formula，showing that 4set of them can make great impact on the vibration frequency，which can give car-body designers some suggestions.
Key Words：Sensitivity；Wave Equation；Torsional Vibration；Stiffness Tandem；Train Car-Body；Design Parameter
中图分类号：TH16；U270.0
文献标识码：A
文章编号：1001-3997（2017）10-0081-04
来稿日期：2017-04-11
基金项目：国家科技支撑计划项目（2015BAG12B01-15）；四川省科技厅应用基础研究项目（2014JY0242）；
中央高校基本科研业务费专项资金资助（2682015CX046）
作者简介：王长科，（1989-），男，山东诸城人，硕士研究生，主要研究方向：机车车辆结构强度与振动，疲劳寿命；
阳光武，（1977-），男，四川金堂人，博士研究生，研究员，主要研究方向：机车车辆结构强度与振动，疲劳寿命及车辆动力学
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