我国高速铁路建设经过多年的创新发展，成功建立了时速250 km与350 km两个高速铁路建造体系[1]。随着行车速度的提高，再加上轨道不平顺和轨道结构的变形[2]，轮轨高频振动也逐渐加剧。
为了分析轮轨系统的高频振动特性，国内外学者从轨道结构的多个方面做了大量的相关研究。徐志胜[3]等人通过对高速铁路车辆-轨道耦合振动仿真分析，对比了Timoshenko梁与Euler梁模型对轮轨高频振动仿真结果的影响。高建敏、翟婉明[4]等人分析了轨道几何不平顺波长变化对高速车辆系统动力响应影响。刘子煊[5]将描述扣件胶垫幅变相关的Berg摩擦模型和频变相关的分数阶Zener模型应用到车辆-轨道耦合系统动力学模型中，对比分析了胶垫的幅频变特性对轮轨系统动态响应的影响，但是其动力仿真计算模拟的钢轨模态阶数未能准确地反映扣件胶垫幅频变特性在中高频的动力特性，导致轮轨系统的动力响应结果偏大。
随着高速铁路行车速度的提高，为更准确地分析轮轨高频动力响应，本文选用能够更准确描述扣件胶垫高频动力特性的幅频变模型模拟其动态力学特性，对比计算了高频随机振动激励下钢轨模态阶数对动力仿真计算结果的影响，为准确的分析在车辆-轨道耦合系统高频随机动力学中轮轨系统的动态响应提供参考依据。
图1 扣件胶垫幅频变动力性能的力学本构模型图
扣件系统中的扣件胶垫属于粘弹性材料(橡胶材料)，主要表现为与温度、激振频率以及激励振幅的非线性特性[6]。高速铁路轮轨系统振动为宽频振动，扣件胶垫变形最大应变可达到30%～40%，这样的变形已经超出了橡胶材料的线性应变范围，采用线性模型不能准确表征其动力性能，需在高速铁路扣件系统中采用更精确的模型去描述扣件胶垫的动力特性。扣件胶垫幅频变动力性能的力学本构模型，如图1(a)所示，模型中包括摩擦元件和粘弹性元件，总应力分为摩擦力和粘弹性力，用公式表示为：
F=Fve+Ff
(1)
式中：Fve——频变相关的粘弹性力;
由于改造施工是在既有线上进行的，且每日施工仅有不到4 h 的“天窗”时间，当日施工结束后必须恢复线路并保证轨道状态稳定，不影响线路运营安全。因此，改造方案需重点考虑以下两方面的问题：
Ff——幅变相关的摩擦力。
俗话说“巧妇难为无米之炊”，实验装置是实验教学顺利开展的前提与保障，没有正确，充分的实验器材，就很难开展实验操作，更不要说是实现高效的实验教学了。随着新课程改革的深入，实验教学被提上了新的高度，同样，对教师的教学也提出了更高的要求，这就需要我们教师在进行实验教学时，要拥有创新意识，不能一味的照搬照抄课本的步骤，学着根据自己的经验，改进甚至创新实验，提升实验的效率。
本文采用的分数阶Zener模型能够用4个参数有效描述扣件胶垫的频变动力性能[7]，其模型图如图1(b)所示，时域本构方程为：
春节的祭祀，既有对天地神灵、列祖列宗的感恩，又有祈福的成分，也有敬老尊贤、敦亲睦族、和睦邻里、仁及万物的孝悌友爱传递。 祭祀之后，全家按辈分、年龄依次拜年。 晚辈向长辈拜年，长辈给晚辈压岁钱，彼此问候，互相祝福。 随后开始到亲友家拜年。 旧时拜年一般多由家长带领，先拜长辈近族、邻友，再去远处各家。 家家备各种食物招待，如茶、果、烟、瓜子、花生、糖果、年糕等。 清人顾禄《清嘉录》卷一《正月·拜年》描述，“男女以次拜家长毕，主者率卑幼出谒邻族戚友，或止遣子弟代贺，谓之拜年”，许多一年都见不到的亲友也得以相聚、互相拜贺，到处熙熙攘攘、热热闹闹，幽静的巷坊“动成哄市”[15]5-6。
(2)
式中:Fve(t)——扣件胶垫的粘弹性力;
x(t)——扣件胶垫的位移;
α——分数阶数;
τ——高聚物松弛时间;
K0——当激振圆频率ω趋于0时的储能刚度;
K∞——当激振圆微率w趋于正无穷时的储能刚度。
通过进行傅里叶变换得模型的复刚度，表达式：
(3)
由式(3)可得到分数阶Zener模型与激振频率相关的储能模量与损耗因子。
复校时间间隔建议不超过1年。在复校时间间隔内，如仪器经过较大的维修或出现明显偏差及对仪器性能表示怀疑时，应重新校准。
对式(2)的数值求解，本文采用Grünwald-Letnikov定义[8]，分别将
(4)
(5)
式中：Δt——数值积分步长；
N——积分步数；
Ai+1——Grünwald系数。
近年来，国内勘探技术发展势头良好，但总体技术水平仍然较低，勘察技术创新不够，不利于工程勘探技术经济效益的提升。在实际的测量过程中，测量取样所获得的数据质量较低，测量方法的应用范围较小，没充分分析地基承载力。对于勘测来说，即使能够满足勘测的技术要求，但随着社会的不断前进，传统技术难以满足现实需要。
Ai+1满足公式：
(6)
把式(4)、式(5)带入式(3)中，经化简得到扣件胶垫粘弹性力的表达式：
(7)
采用分数阶Zener模型计算每一个积分步的扣件支反力时，需计算所有时刻扣件胶垫的动态位移，随着积分步数的增加，会影响数据存储空间与计算效率。针对此问题Spanos等人指出，在积分计算时，只需求出当前时间步之前160步的位移，便能得到满意的结果[9]。基于此，本文在用式(7)积分计算时，当总积分步数小于160时，取N=N；当积分步数大于160时，取N=160。
从式(7)可以看出，分数阶数值积分不仅与当前积分步的值紧密相关，且整个积分过程中每一步的计算结果紧密相关，所以能更好地描述扣件胶垫的动力学特性。
M Sjoberg[10]等人认为表现为振幅相关性的力主要是橡胶内部大分子运动之间的摩擦造成的，表现为摩擦力。这种摩擦力仅与振幅有关，与激振频率无关。本文对扣件胶垫中的摩擦力采用Berg摩擦模型进行表征，其表达式为：
Ff=
(8)
式中：ffmax——扣件胶垫的最大摩擦力;
本文采用文献[11]的三维压缩拐角实验模型, 进行了数值模拟, 压缩角度分别选择20°, 30°, 在纵向3条线上, 与实验测压结果进行了对比, 表明了三维楔的侧缘存在低压区, 数值模拟结果给出了较大的低压区范围. 通过对流场数值结果的进一步分析, 表明最低压力值发生在比实验结果更加靠近楔体的位置, 一个从楔体侧缘尖端发起的二次涡从此处掠过, 其抽吸作用是造成当地低压的主要原因. 这种绕过压缩拐角流动的侧面三维效应, 不论来流是层流还是湍流均未见前人述及. 此外, 数值结果表明在三维楔后缘处压力有所降低, 是由于楔体底部的低压通过边界层的亚声速区上传对上游的压力产生了影响.
x2——摩擦力达到最大摩擦力一半大小时板的最大位移;
ffs——摩擦力；
xs——每次位移方向发生变化参考点的位移。
文献[7]测试了Vossloh300型扣件系统的动态粘弹性动力性能。根据试验结果对幅变相关的Berg摩擦模型和频变相关的分数阶Zener模型的参数进行识别，得到较好的拟合结果。本文在其基础上采用同样的测试方法，在忽略扣件胶垫幅变特性的情况下，将实测力认为是粘弹性力，直接用分数阶Zener模型对实测数据进行拟合，用于对比分析有无幅变摩擦特性对扣件胶垫动力特性的影响。有无幅变摩擦特性对测试结果进行参数识别结果，如表1所示。
表1 幅频变模型参数识别结果
分数阶Zener模型摩擦力模型K0/(kN/mm)K∞/(kN/mm)τ/sαx2/mmFfmax/kN16.26 8146.50×10-130.2590.104.1
本文以我国高速铁路无砟轨道为例，建立车辆-轨道垂向耦合动力学模型，如图2所示。其中车辆选用我国CRH380型高速客车，轨道选用长枕埋入式无砟轨道型式。以本文选用的分数阶Zener模型和Berg摩擦力模型计算扣件胶垫垂向支反力，计算分析了车辆-轨道垂向耦合系统高频随机振动仿真分析中钢轨模态阶数对轮轨系统振动响应的影响。
图2 车辆-轨道垂向耦合动力学模型图
将高速客车简化为垂向具有10个自由度的车体模型，钢轨采用离散点支承的有限长Euler梁模型模拟。车辆和轨道的动力参数可参考文献[11]。在轮轨垂向耦合系统中，轮轨关系采用Hertz非线性弹性接触理论进行计算。
本文模拟高速客车运营车速350 km/h，轨道不平顺采用TB/T 3352-2014《高速铁路无砟轨道不平顺谱》进行仿真计算。该不平顺谱波长范围为2～200 m，激振频率最高只有48.6 Hz，远不能满足本文研究的频率范围，因此，将最短波长延伸到0.1 m，使激振频率最高达到972.2 Hz，然后再对轮轨动力响应进行计算。
图3 不同模态阶数下的轮轨力幅值
已有的文献研究结果表明，钢轨模态阶数与轨道扣件支点数Nf存在某种匹配关系[12]。本文先数值计算了钢轨模态阶数取扣件支点数的0.4～1.5倍范围内的轮轨力最大值变化曲线，如图3所示。从图中可以看出，当模态阶数从0.4Nf增大到0.8Nf时，轮轨力最大值从144.9 kN减小到了95.8 kN，减小幅度为33.9%；当模态阶数从0.8Nf增大到1.5Nf时，轮轨力变化幅值不大。因此，本文在动力仿真中，选取钢轨模态阶数0.5Nf、Nf、1.5 Nf 3种计算工况，对比分析不同钢轨模态阶数对轮轨系统仿真计算的影响。
本实验选择台湾凌阳公司生产的TN_9红外探测传感器作为测温模块，外形如图3所示。它是一种集成的红外探测器，内部有温度补偿电路和线性处理电路。 其测量距离大约为30m；测量回应时间大约为0.5s。测量距离∶目标直径=1∶1(如图4所示)，即传感器温度感测口到测量目标的距离a与测量目标直径b的比例为1∶1，当然如果测量目标为等温物体，测量目标的直径b也可以大于测量距离a，传感器的视场约为53.2°。传感器尺寸为12mm×13.7mm×35mm，体积较小，分辨率为0.062 5°C；而且它具备SPI接口，可以很方便地向单片机传输数据。
通过试算发现，动力仿真中钢轨模态阶数对车辆系统垂向振动产生的影响很小，因此本文着重研究3种钢轨模态阶数取值对轨道结构的动力响应。
例7 (新编题)用石墨电极电解硫酸钠溶液的过程中,阴、阳极附近溶液的pH会发生明显变化。甲同学对pH变化分别提出下列假设:
（1）要求学生自学教材后，仿照教师归纳“验证绿叶在光下合成淀粉”的6个步骤（暗处理→设置对照→接受光照→酒精脱色→清水漂洗→滴碘检验）的方法，对其他3个实验步骤进行归纳总结。
(1)轮轨力对比
本文计算了3种钢轨模态阶数取值下轮轨力时/频域曲线，如图4、图5所示。从图4中可以看出，模态阶数取0.5Nf时，轮轨力时域计算值明显偏大，钢轨模态阶数取Nf和1.5Nf计算得到的轮轨力时域结果相差不大。在频域结果中，3种计算条件的轮轨力振幅值在1/3倍频程中心频率50 Hz以下的频带内几乎没有变化；而在60 Hz和800 Hz处的主频范围，钢轨模态阶数取0.5Nf计算的轮轨力振幅明显大于取Nf和1.5Nf，特别是在800 Hz处的高频范围，轮轨力振幅随模态阶数的取值变化更大。
2.1 HCV 感染上调 Huh7 细胞 AchE 的表达 图1A、1B 结果显示，在 HCVcc 感染 Huh7 细胞 36 h 和60 h 后，与对照组相比 AchE 蛋白表达均上调（P 均＜0.01）。用 qPCR 检测细胞内 AchE mRNA的变化，图1C、1D 结果显示 HCVcc 感染 Huh7细胞 36 h 和 60 h 后，与对照组相比细胞内 AchE mRNA 含量均增加（P 均＜0.01），与前期转录组深度测序结果相符合。表明 HCV 感染可以明显上调 Huh7 细胞内 AchE 的表达。
图4 轮轨力时域图
图5 轮轨力频域图
(2)轮对垂向振动加速度对比
轮对垂向振动加速度时/频域计算结果对比，如图6、图7所示，从图中可以看出，钢轨模态阶数对其仿真结果的影响与轮轨力的影响相似。时域结果的加速度最大值随钢轨模态阶数的增大而降低；在频域中，高频范围的加速度振级随钢轨模态阶数的增大而减小。
基于配变负载历史数据，对采样数据进行分类预测模型的选择，通过比较分类模型的优劣选出最优模型。分类器模型的选择过程以及分类器的准确率如下图所示。
图6 轮对垂向振动加速度时域图
图7 轮对垂向振动加速度频域图
(3)钢轨垂向响应对比
3计算条件下的钢轨位移时程曲线，如图8所示，从图中可以看出，钢轨模态阶数对钢轨垂向位移最大值影响不大，且均未超过钢轨垂向位移基准值1.5 mm和最大允许值2 mm。由于粘弹性材料中内摩擦力的作用，在列车车轮驶过的时刻，钢轨位移没能立刻恢复到0 mm。
图8 钢轨垂向位移时域图
钢轨垂向振动加速度的时域仿真结果，如图9所示。从图中可以看出，钢轨模态阶数分别取0.5Nf、Nf和1.5Nf时，计算得到的加速度最大值分别为480.73 m/s2、302.28 m/s2、303.89 m/s2。对比发现钢轨模态阶数取值较小时，计算的钢轨振动加速度值偏大。钢轨垂向振动和加速度振级频域仿真结果，如图10所示。从图中可以看出，钢轨模态阶数的取值主要影响中心频率在400 Hz的钢轨垂向振动加速度振级。
图9 钢轨垂向振动加速度时域图
图10 钢轨垂向振动加速度振级频域图
为更准确地分析高频激振条件下的高速铁路无砟轨道仿真计算的轮轨动力响应，本文通过采用扣件胶垫幅频变相关的Berg摩擦模型和分数阶Zener模型代替传统的线性模型，建立了高速铁路无砟轨道的车辆—轨道垂向耦合模型，在此基础上分析了钢轨模态阶数的取值对轮轨垂向系统时频域动力响应仿真结果的影响，得出以下主要结论：
2.1.1 趋势分析、结构分析[5-7]。通过对医院的总体收支及其结构、经济运行效率、运行效果和效益等主要经济运行指标进行系统分析和比较，发现其存在的问题、变化趋势和规律，并提出相应的对策建议。分析内容包括收支情况(总体收支、收支构成)、投入指标(人员状况、床位状况、资源配置、政府投入)、过程/效率指标(服务总量、人员工作效率、运行效率)、结果/效益指标(运行结果、人均收入、次均费用、长期结果)。
(1)在轮轨动力响应的时域仿真结果中，钢轨模态取值较低会使轮轨力、轮对加速度和钢轨加速度计算得到的最大值偏大，随着钢轨模态阶数的取值增大，轨动力响应的最大值逐渐减小并趋于稳定，而钢轨的垂向位移变化不大。
(2)钢轨模态阶数取值主要影响轮轨系统在中高频范围的动力仿真结果。存在高频激振的情况下，钢轨模态阶数取值的不足，在中高频段的主频范围内使轮轨的动力仿真结果被放大。
(3)由时频域计算结果可知，为确保轮轨动力仿真得到更加准确的结果，需要根据激振频率的大小，对钢轨模态阶数进行合理的取值，对于激振频率较高的高速铁路动力仿真计算，本文建议将钢轨模态阶数最低取到轨道中的扣件个数。
参考文献：
[1] 金学松,温泽峰,张卫华,等.世界铁路发展状况及其关键力学问题全国结构工程学术会议特邀报告[J].工程力学,2004，21(S1):90-104.
JIN Xuesong, WEN Zefeng, ZHANG Weihua, et al. State of World Railway Development and Its Key Mechanical Problems. Invited Report of National Academic Conference on Structural Engineering[J]. Engineering Mechanics,2004，21(S1):90-104.
[2] 李成辉．高低不平顺不利波长及其与车速关系[J].西南交通大学学报，1997，32(6)：633-636.
LI Chenghui. Relationship between Irregular Wave Length and Vehicle Speed[J]. Journal of Southwest Jiaotong University， 1997， 32(6)：633-636.
[3] 徐志胜,翟婉明,王开云,等.车辆-轨道系统振动响应分析—Timoshenko梁与Euler梁轨道模型的比较[J].地震工程与工程振动,2003,23(6):74-79.
XU Zhisheng, ZHAI Wanming, WANG Kaiyun, et al. Vibration Response Analysis of Vehicle-track System-comparison of Track Models between Timoshenko Beam and Euler Beam[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2003, 23(6): 74-79.
[4] 高建敏,翟婉明,王开云.高速行车条件下轨道几何不平顺敏感波长研究[J].铁道学报, 2012, 34(7): 83-88.
GAO Jianmin, ZHAI Wanming, WANG Kaiyun. Study on Sensitive Wavelength of Geometry Irregularity of Track under Condition of High-speed Operation [J].Journal of Railway, 2012, 34(7): 83-88.
[5] 刘子煊. 扣件胶垫动态幅频变特性对高速轮轨动力响应的影响研究[D].成都：西南交通大学,2017.
LIU Zixuan. Study on Influence of Dynamic Amplitude-frequency Variation Characteristics of Fastener Gasket on Dynamic Response of High-speed Wheeltrack[D].Chengdu：Southwest Jiaotong University,2017.
[6] 唐振寰. 橡胶隔振器动力学建模及动态特性研究[D]. 南京：南京航空航天大学, 2013.
TANG Zhenhuan. Study on Dynamic Modeling and Dynamic Characteristics of Rubber Vibration Isolator[D]. Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2013.
[7] 韦凯，王丰，牛澎波，等. 钢轨扣件弹性垫板的动态黏弹塑性力学实验及理论表征研究[J].铁道学报， 2018，40(12)：115-122.
WEI Kai, WANG Feng, NIU Pengbo, et al. Research on Dynamic Viscoplastic and Elastoplastic Mechanics Experiment and Theoretical Characterization of Elastic Pad for Rail Fasteners[J]. Journal of Railway， 2018， 40(12)： 115-122.
[8] 陈文,孙洪广,李西成，等. 力学与工程问题的分数阶导数建模[M].北京：科学出版社,2010.
CHEN Wen, SUN Hongguang, LI Xicheng, et al. Fractional Derivative Modeling of Mechanical and Engineering Problems[M].Beijing：Science Press,2010.
[9] 张攀.高铁无砟轨道扣件系统弹性垫板温/频变动力特征及其影响研究[D].成都：西南交通大学,2016.
ZHANG Pan. Research on Temperature/Frequency Variable Dynamic Characteristics of Elastic Cushion Plate in Ballastless Track Fastener System of High-speed Railway and Its Influence[D].Chengdu：Southwest Jiaotong University,2016.
[10]Berg M. A Non Linear Rubber Spring Model for Rail Vehicle Dynamics Analysis[J].Vehicle Syst. Dyn. 1998,30(Issue 3-4): 97-212.
[11]Kai Wei,Feng Wang,Ping Wang,et al. Effect of Temperature- and Frequency-dependent Dynamic Properties of Rail Pads on High-speed Vehicle-track Coupled Vibrations[J]. Vehicle System Dynamics,2017,55(3):351-370.
[12]翟婉明. 车辆-轨道耦合动力学(第四版)[M]. 北京：科学出版社, 2015.
ZHAI Wanming. Vehicle-track Coupling Dynamics(Fourth Edition) [M]. Beijing：Science Press, 2015.
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