音乐人常常会发出这样的疑问：有同样的乐谱，也有非常相似的（或者就是用一个）乐器，为什么不同的演奏者会演奏出不同的音乐呢？与此相类比的问题是，对于数学教师来说，进入课程的数学知识一样，数学教师在入行之前所进行的示范受训也没有多大差别，为什么不同的数学教师在数学教学设计及其课堂实施时却出现不同的途径与方法，从而相应地产生了不同的教学效果呢？为此，我们从教师培训中的一个具体课例说起。
借助安徽省农村初中数学骨干教师“国培计划”集中培训的机会，作为培训教师，研究者有意识、有计划、有目的、有组织地仿照教科书与教师指导用书编制的数学教学内容，向受训教师出示解决问题的答案，要求他们选择教学策略与方法，先进行教学设计（需要分析教材、分析学情、分析教学目标、分析教学起点、分析后继环节与选择教学法的相关理论与理念等，这些要素的整合构成了数学教师的教学水平），然后依据这种教学设计模拟在课堂上无生授课。
“我把所有的俸禄都交给你，一定不娶小老婆。”李公甫嘴笨，为人也粗糙，憋了半天也只说得出这么一句话。此时的许姣容也是个羞涩的姑娘，只把头微微一点，脸却红得醉人。也不知是烛光照的，还是嫁衣衬的。
教学内容：比较
对照组使用常规护理措施，所涵盖的护理项目和措施有健康告知、基础护理操作、反应各项生命体征和身体指标的实时监测[1]。观察组的在实施上述护理操作的同时，辅之必要的心理护理操作，主要涵盖的护理项目有：（1）满足患者合理需求，消除负面情绪和负面影响，促进患者适应能力的提升[2]；（2）借助于交流、沟通、启迪的方式完成对患者的针对性心理护理，促进患者自我护理能力的提升。（3）依据评估-计划-实施-评价等步骤，对患者开展个性化的心理护理。
模拟教师指导用书向受训教师进行解题方法提示：由于
基于这段教学内容及其规定的教学目标，研究者对受训教师提出了两项要求：其一，就这个问题进行教学设计；其二，就你的教学设计在课堂上进行模拟无生授课。
下面选择三位受训教师的三种典型的课堂教学模拟授课活动。（下文师生对话中的省略号表示受训教师估计学生思维暂时中断处。）
第一位教师（甲）的模拟授课采用的教学关键环节：
师：如何解决这个问题？
根据决策者在决策时所处的条件，有学者将决策分为确定型决策和风险决策。所谓确定型决策是指决策者对决策问题的条件、性质、后果都有充分了解，各个备选方案只能有一种结果。［10］确定型决策首先要求决策者完全了解决策问题的所有条件，各个决策方案可以进行明确的量化，各个方案的结果都是一致的。很显然，这种确定型决策在实际决策过程中是很少出现的。
生：……
师：在比较两个数的大小时，我们可以使用哪些基本方法？
生1：由于这两个数都是正数，我们可以使用“数轴法”“作差法”与“作商法”。
师：很好！同学们使用这些方法试一试，看看可否解决问题？
（学生经由一轮运算，没有获得解决问题的具体途径。）
师：由于
生2：由 于
网站可以帮助学习者以一种渐进的方式不仅学习基本的语言知识，还可以帮助他们构建他们的知识，在有意义的语境下达到更高的思维模式。网站通过促使学习者从现实的水平到达他们的潜在水平来协助他们学习，这正是Vygotsky[7]的最近发展区理论的实践应用。
师：我们称这种比较大小的方法为“倒数变换法”。今天通过这个具体的例子，我们又发现了比较两个数大小的另一种方法——倒数变换法。
第二位教师（乙）的模拟授课采用的教学关键环节：
师：如何解决这个问题？
生：……
师：如果
生3：由于
师：生3同学具有很好的数学问题探究能力，但是，这种推理不十分可靠，同学们还能够提出更具说服力的证据吗？
生 4：我研究了比较
货币政策会影响企业家信心，改变企业家对未来经济形势的预期，引起投资决策的变动。[19]假设宽松的货币政策下，对于投资过度的企业，信心指数增长表明企业家看好未来经济，其对未来资金紧缺的担忧也会相应减弱，加之宽松的货币政策降低了企业的融资约束，因此企业会优先选择进一步增加投资，这样更容易加剧投资过度。而对于投资不足的企业，面对宽松的货币政策、较低的融资约束、较好的经济预期，企业自然会选择提高投资来缓解因投资不足造成的经营压力。
师：生4同学的想法很好，试图为序列①的结论再添新证据，不过要注意的是，其一，由②③的结论不一定能导出新结论
生：……
生5：由于序列①包含了无限多个数，这样的话，如此一个一个地验证就不可能彻底地解决问题。序列①可以表示成一般形式
师：大家经过合作研究解决了问题。难能可贵的是，同学们通过对这个非常具体的问题经过（生3与生5的）一步一步探究所得的材料，上升到抽象的层面上加以解决，这是一种非常了不起的创建，从中一定学到了许多东西，大家现在议一议（提示小结，略）。
第三位教师（丙）的模拟授课采用的教学关键环节：
李小树依然闭着眼睛沉醉在其中，我看到他的喉结上下滑动了几下。他听到我“呃”了一声后又慢条斯理地说：“它虽然进了你的脾胃，可它那种馥郁与优雅的味道仍然会留在你齿间，让你魂牵梦绕。不！应该说是魂不守舍。你说，我说的是不是？哥们儿！”
师：如何解决这个问题？
生：……
师：如果
生6：我们将它转化为有理数，通过有理化的手段来试试看，由于
师：非常好！不过将⑦⑧两个等式稍微调整一下，就可以得到
通过上述问题的分析，对大数据时代的智慧城市建设与发展困局化解有了全新的认识和了解。智慧城市是在物联网和云计算等技术的基础上，实现数字世界和现实世界的有机结合。智慧城市的建设可以有效地构建一种高标准的城市环境，从而对实现政府的智能以及便捷民生有着积极的促进作用。但是当前大数据时代的智慧城市建设发展还依然面临着信息安全的发展困局、基础设施的发展困局以及行业标准的发展困局，因此，相关管理人员应积极采取加强和优化信息化程度、完善创新城市基础设施以及深化建立相关制度机制等措施，才能更好地解决智慧城市当前面临的难题，为智慧城市的长远发展奠定坚实的基础。
生7：说明使用求倒数的方法比较两个数的大小。
师：好。我们姑且给这种方法起一个名字：倒数变换法。
这里我们比较详尽地展示了这三位数学教师的教学设计及其课堂实施全过程，从中我们可以找到这三种教学途径具有怎样的关系吗？
本次提升面积为4 021 m2。该节点也是居民活动的重要节点之一，在节点处设计硬质铺装、景观亭和树池坐凳等，供居民休息活动。在植物配置上，为居民营造林下空间，提供在夏季遮阴纳凉的空间场所，且植物季相变化明显，四季景色各异。图5为城府南街与唐和路节点效果图。
总而言之，随着时代的发展进步，观念摄影艺术也逐渐进入了后现代主义阶段。由于观念摄影是与现实主义、现实生活相互依存，因此我们又简单的称其和后现代主义相互依存，因此无论摄影技术如何发展，图像的实质就是在某种潜移默化的方式来超越创造以及其他外界技术的方式，从而吸引人们的注意力，形成具有很大影响力的作品，也只有这样的摄影作品才能具有一定的艺术价值。图像本身就不同与其它艺术，它不需要任何语言也不需要任何文字就可以直观的引起人们的共鸣，从而引起人们的感悟，所以观念摄影的后现代艺术特征对于艺术的发展来说至关重要。
整个探究解决这个问题所获得的基础解题环节，就是教师乙的教学设计及其课堂实施启发了生3所表达出来的，它是根据比较
基于动态电压补偿的VSG电流平衡及峰值电流控制//郭岩,郑天文,司杨,陈来军,梅生伟//(9):108
从序列①与生4想要更多验证想法的综合过渡到生5，从中也看到了教师乙的教学设计及其课堂实施的功夫与高超水平，对于序列①所提出的个别验证永无止境，生5 的想法恰恰就是想将这个序列①中每相邻的两项之间都验证完，导致了必然要从抽象的层面进行研究，从而一网打尽。这一想法特别重要，于是，生5 由序列①与生4 想法的启导，将这个序列中的具体数字通过抽象性的表达，构造出了表达式
如此教学设计及其课堂实施，教师乙利用生3在课堂上生成的想法，通过精心铺垫，成功地营造了促使学生将自己的心智能量聚焦于萌生“毕其功于一役”，从而彻底解决问题的数学观念，这构成了学生欲罢不能的心理探究活动，想方设法地在智囊中搜寻如何从具体的现象上解决问题过渡到从抽象的本质上解决问题的途径。教师乙的这种教学设计及其课堂实施的高明之处，就是通过自己的课堂行为，在这个地方找到了方法，将学生的思维活动聚焦于这么一个问题点上，由于此处学生所要思考的材料与环节目标清晰、方向明确，致使学生形成了强烈的心理内驱力，此处，可以使用课堂布白的教学技术，给学生时间，相信学生一定可以实现从具体到抽象、从现象到本质的过程，萌生出相应的方法，解决这个问题。从课堂上师生活动过程来看，教师乙很好地实现了这样的目的。具体体现在以下两个方面：
其一，促使学生认识到“具体”与“抽象”、“现象”与“本质”这两对辩证范畴在一定的条件（对于教师教学设计及其课堂实施来说，通过铺垫、渲染或烘托，营造出学生可以理解的条件非常重要）下是可以转化的，在探究数学问题时，这种转化是特别有价值的。通过教师乙的课堂实施活动，学生能够自觉地形成这样的数学观念：对于特别具体的数学化信息，可能需要转化为抽象的结果来帮助解决问题；反之，对于比较抽象的数学化信息，往往需要选择一个具体的特例来投石问路，仔细地把这种具体的特例研究清楚了，就有可能为这种形式上抽象的数学化信息问题提供可资借鉴的思路。
要实现这种辩证法（范畴的互相转化）层面上的教学目标，其实是对我们数学教师提出了非常高的教学要求，数学教师只有深入分析数学知识内容的特点与学生发生具有如此特点的数学知识内容的心理活动过程，才能体会与理解数学知识内容中所蕴含的这些辩证法的要素，比对着学生心理，从学生产生具体的思维环节路径中，搜寻这个知识结构中所蕴含的辩证法要素如何投射到学生的心理上去，伴随着这一投射过程，促使学生辩证意识或辩证思维的萌生、逐步成长与发展起来。因此，数学教师自己必须要有辩证意识与辩证思维能力，这样才能独具慧眼，体味数学教学内容中所蕴含的辩证思维材料，才能通过自己精湛的教学设计及其课堂实施活动，培养学生的辩证意识与辩证思维。
其二，养成数学抽象的核心素养，《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“学科核心素养与课程目标”这个一级标题下，将“数学抽象”列入“学科核心素养”中六大核心素养的课程目标之首，这是有道理的，因为数学所研究的就是“任意”或“一切”情况，那就必然是抽象地进行研究，所以数学的抽象性与结构性是最为突出的两个特点。课程标准指出，“（数学抽象核心素养）主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表达”[1]。虽然这是对于高中学生而言的，但是，在初中阶段如果基于合适的数学教学材料进行渗透也可能很好地达到目的。教师乙关于这道题的教学设计及其课堂实施就是很好的例子。
需要注意的是，这种养成数学抽象的核心素养，数学教师就必须要对数学教学内容进行细心的过滤，辨别出合适的教学材料，找到合适的教学途径，在初中阶段就应该一点一滴地向学生进行渗透，在学生的心智结构中播种，促使学生获得这样的体验，从而生根、发芽、开花与结果，进而可以最大限度地发挥数学知识中所蕴含的教学价值。因此，教师乙的这种教学设计及其课堂实施过程，就非常好地体现了这一点。这给我们数学教师以有价值的启发。
教师丙的教学设计及其课堂实施是教师乙的特殊化，由于等式⑤是将符合这种数字特征的所有式子（即序列①）一网打尽，而
从实现教学目标的视角上看，这样的教学无法像教师乙一样，可以实现培养学生相关的辩证意识或萌生辩证思维，也不能为养成学生的数学抽象核心素养作出相应的贡献，因此，教师丙的教学设计及其实施的效果应次于教师乙。虽然如此，教师丙的教学设计依然具有很好的实用性，因为他所花费的时间很少，又给这个问题的解决找到了心理来源，体现了这种教学设计的创造性。然而，与教师乙的教学设计及其课堂实施比较，它没有涉及利用教学资源帮助学生养成数学抽象核心素养的教学目标。教师丙的努力方向在于，深入分析如何形成“分子有理化”这个观念来源，有可能触及产生这个数学观念的逻辑起点。
教师甲的教学设计及其课堂实施几乎就是将教师指导用书所提供的答案，原原本本地抄写到了黑板上，学生只能通过机械记忆这道题具体解题的逻辑过程，而谈不上心理上的变化过程，所以这种教学设计及其课堂实施价值是最低的。因为，学生经过这样的教学设计及其课堂实施途径的学习解决这个顺序问题，不能实现任何认知的、情感的、意志的教学目标，久之必使学生的学习动机、兴趣等消磨殆尽，从而放弃数学学习。对此，我们数学教师一定要有深刻的认识，以避免重蹈覆辙。
根据黄雪凌等[5]研究显示，对妊娠期糖尿病患者进行饮食控制可提高血糖控制效果，且改善分娩结果。相关研究显示[6]，饮食控制可显著改善治疗效果。该次研究结果显示，实施饮食控制的观察组剖宫产、感染、早产、死产的发生率均优于对照组，对比差异有统计学意义（P<0.05）。两组空腹血糖水平、餐后2 h血糖水平对比差异无统计学意义（P>0.05）。说明饮食控制对妊娠期糖尿病患者治疗效果改善显著。饮食控制可有效的控制患者的空腹血糖、餐后2 h血糖水平，明显降低不良妊娠结局的发生率，从而也凸显了孕产妇饮食管理、科学进食的重要性。
由于这是教学设计及其课堂实施的研究活动，是严肃认真的，笔者只对事不对人，直言不讳地评论这三种数学教学的优劣得失。虽然如此，当分析这三位教师的教学设计得出如此结论的时候，有不少教师提出了为教师甲进行辩护的想法，他们说，在数学课堂教学时，因为受到教学时间的限制，教师甲这种教学也是情有可原的。笔者以为，他们的这种辩护是苍白无力的，因为一个有责任感与进取心的数学教师一定能够在课堂上找到相应的时间来全方位地展示学生发生数学认识的思维活动过程，否则为什么还要进行教学设计呢？
首先，从“多元互动”这四个字中我们可得知，这种互动就不只是我们常挂在嘴边的师生互动了。因为师生互动只有两个主体，即教师和学生；而“多元互动”呢，则是涉及教师、学生和家长这三个主体，否则就不能称之为“多元”化的互动了。这个解释虽然通俗、简单，但是，其所富有的说理性却十分强烈。另外，根据“多元互动”中教师、学生和家长这三个主体，我们可以将教师拟合成学校教育，将家长拟合成家庭教育或者是校外教育，而学生则是链接学校教育和校外教育的中介。换句话说，也就是“多元互动”将课堂从学校拓展到了家庭或者校外。
（一）规模养殖总量逐步增大 截至2011年末，合川区已建成年出栏100头以上的规模养猪场1 674户，生猪养殖规模化率达49%。无论在规模养殖场的数量上，还是在规模养殖出栏量上都居于重庆市前列。
因此，在数学问题解决教学设计时，教师应该力争做好这三项工作：其一，对于教科书或教师用书所体现的解答结果的表达形式，一定要认真地思考（最后是不看答案而自己进行解答）是如何产生这种结果的，力争取得这个结果的心理来源[2]；其二，对于数学教师似乎是通过直觉的途径萌生的某些数学观念，应该尽可能地深入分析，获得产生这种观念的心理过程或逻辑过程（例如，教师丙“分子有理化”的数学观念，进一步转化为心理过程，这就是希望将比较无理数大小转化为比较有理数大小）；其三，退一步说，我们还可以阅读相关文献或请教其他教师，不至于就是这样地将解决结果原封不动地抄给学生。从而保证数学教学设计及其课堂实施的有效性[3]。
把一道数学题的施教活动设计到让学生在探究解法时欲罢不能的境界，这应该就是一个非常好的教学设计及其课堂实施了。在解题教学活动展开时，如果每一重悬念，待要解开，又出现了新的谜题，让学生对于探究活动犹如上瘾一般，一直追随着解决问题的环节走下去，直到取得答案为止，那么这种施教活动本身到底是什么类型的问题已经不再重要了，因为这只是一个好问题，将学生的全部视线都聚焦于这个问题解决的关键性环节。这绝不是一件容易的事情，它的进与退、显与藏、顺境与逆势，一招一式、一言一行，都需要做得恰到好处。此时，数学教学看起来是非常复杂的活动行为，但是，数学教师应该把它做得非常“单纯”，这样的数学教师才是真正的好教师。教师乙关于这道题的教学活动达到了生机勃勃、风生水起的境界。▲
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版[S].北京：人民教育出版社，2018：4.
[2]张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2015，24（1）：33-37.
[3]张昆.积累数学教学经验的实践途径[J].中小学教师培训，2019（7）：15-18.
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