新课改以来，小学生的数学学习方式有了很大的改变，学生的基础性学力(基础知识和基本技能)有了较大提升。但是在数学学习中，我们发现许多小学生缺乏独立观察思考和分析判断能力，问题解决能力普遍不强，创新思考的意识淡薄，存在“学不透”的事实，究其原因就是学生发展性学力低下所造成[1]。所谓发展性学力，在小学阶段主要指学生对于知识规律的分析表征能力、想象能力、推理能力以及解决问题时表现出来的创新思考能力等，是“知识和技能”背后的“学习方法、思维方式、情感态度和价值观”，它和基础性学力共同支撑学生的数学学习。因此，在小学数学教学中，要想让学生走得“既快又远”，就应该重视发展性学力的培养和提升。
所谓数学分析表征能力主要是指学生透过数学现象发现数学本质、结构关系的能力水平，它是学生数学学习的核心能力之一。小学阶段学生的思维特点主要以形象思维为主，逐渐向逻辑思维发展，因此在数学学习中我们应该遵循这一规律，逐步培养和提升学生的分析表征能力。
项目建设范围内主要为荒地、房屋、鱼塘和山地，地面标高为29.95～12.56m（黄海高程、下同），地势起伏较大，呈北高南低的趋势。沿线无任何市政管线，雨污水处于散排状态，通过地面径流就近排入附近鱼塘、洼地，造成污染。
就以观赏石的分类而论，古典观赏石的分类因受制于科学技术和生产力条件的约束，就只有灵壁石、太湖石、昆石、英石四大类型为正宗，延续了上千年。
小学阶段的教材中很多学习材料都以主题图的方式呈现，通过直观形象的情景图，让学生在观察中发现图中蕴含的数学信息，找到知识之间存在的结构关系，进而提出数学问题并且尝试解决。这个过程中，图式表征不仅能够把直观形象的数学信息串联起来，而且让学生在观察分析中初步体会知识之间存在的逻辑关系，有助于学生初步形成分析表征的意识和能力。如：苏教版一年级下册“两位数加一位数(不进位)”教学中，出示主题图(如图1所示)后，先让学生观察交流图中的数学信息(摘下23个，树上还剩5个)，根据数学信息提出问题“树上原来有多少个桃子？”让学生根据加法的意义(两个数合并成一个数)尝试列式计算。虽然这个过程看似简单，但对于一年级的小学生来说，最重要的意义是经历了加法意义的一次系统图式表征，就是对数学信息(摘下23个，还剩5个)的准确判断和连续分析后，选择用加法列式计算，让学生迈出了合情推理的第一步。
图1
随着级段的升高，小学数学教材符号化的特征越来越明显，主要有这样几种形式：一是不完全符号，如概念、数量关系、公理等；二是完全符号，如数、字母、公式、方程等。在实际教学中，符号化的学习材料呈现以后，要引导学生用自己的思维准确地分析材料中已知和未知之间的数量关系，调动与之有联系的数学知识经验，快速地提取、抽象、表达，尝试解决问题。这一过程中，符号表征更多体现结构化的数学学习特点，让学生经历不完全的建模过程，进一步发展学生的代数思维[2]。如：苏教版五年级上册“钉子板上的多边形”一课，教材先呈现这样一个主题学习材料(如图2)，引导学生探索多边形内只有1枚钉子的面积计算规律，这是特殊的、也是最容易发现的规律。在探索规律的过程中，让学生充分调动已有的知识经验，在对比观察、计算中发现多边形的面积和多边形边上的钉子数之间存在的关系，最后尝试用字母来概括这一规律。接着再探索多边形内有2枚、3枚、4枚钉子的情况，最后再探索多边形内没有钉子的特例。这样一来，整个探究呈现的例证就比较完整，有利于学生用不完全归纳法概括最后的规律，同时用含有字母的式子来表示规律，增强了学生的符号意识。
所谓想象能力主要是学生对数学学习材料进行观察、分析、认知的抽象思维能力，培养学生的想象能力是数学教学的主要任务之一，同时也是难点之一。根据小学生的身心特点，在教学实践中应该做到以下几点。
我以为乔振宇会偏袒自己妹妹数落妹夫一顿，不料他居然帮理不帮亲，数落表妹太黏人、缺乏独立意识，凡事依赖、严防死守会让男人觉得很累，全家开支都压在一个男人的肩膀上谁都想逃走！表妹把头沉成了熟透的麦穗。
数学观察是学生想象的基础，因此，在教学实践中，要为学生提供丰富、直观的学习材料，引导学生快速地提取数学信息。不仅要在观察方法指导上多下功夫，让学生根据时间、空间以及逻辑顺序，学会有序观察，更要在组织的形式上有层次、有目标，让学生经历多轮数学观察，积累一些有用的数学表象，为深入理解数学概念奠定坚实的基础。如三年级“认识分数”一课中，在课始“分一分”活动中，教师先提供过生日分蛋糕的动画情境，呈现“每份一样多”和“每份不一样多”的情况，让学生迅速直观感知“平均分”；接着再提供给学生一些直观“平均分”和“不平均分”的学习材料(图形、物体等)，让学生再次进行观察、辨析、比较、分类；最后直观地感知“整体与部分”的关系，初步形成“平均分”的表象。在这一过程中，不仅培养了学生“同中求异”的数学眼光，更培养了学生透过现象发现本质的能力。
图3
所谓直观思维，就是学生在数学观察的基础上，经过快速的分析，迅速对图形或者问题作出合理的猜测、设想的一种思维方式，它是在动手操作中逐步发展起来的。因此，我们培养学生的空间想象能力，就应该为学生提供动手操作的机会，调动学生多种感官参与数学活动，让学生积累一些认知经验，引发学生自觉洞察事物空间存在的形式，理解数学知识的本质和内涵。如四年级下册“确定位置”一课中，例2后的“练一练”(如图3)，可以改变原题中学习材料的呈现方式，给出四个点的坐标，让学生在描点后想象一下这是个什么图形。一方面，学生在动手描点中，可以直观看出；另一方面，也可以结合数合的特点，想象出图形。显然后者是在前者动手操作的基础上，再通过数学观察、分析才能够快速地发现围成的图形是什么。
图4
数形结合能够把具体的图形和抽象的数有机结合起来，由图形带来的直观可以降低数学的抽象程度，提高思维的灵活性和深刻性，加深学生对数学的理解；对图形的探索和推导，激发学生的创新意识，全面发展学生的数学直观想象能力。如五年级下册“解决问题的策略”一课，先呈现“
所谓推理能力主要指学生根据已知的学习材料(前提)推出未知的学习结果(结论)的一种思维能力，它贯穿于小学数学教学的始终，一般包括合情推理能力和演绎推理能力两种[3]。在小学阶段的数学学习中主要让学生通过归纳、类比等数学活动探索一些规律，形成一些结论，发展合情推理能力；同时还要结合一些实例验证一些结论的正确性，初步发展学生的演绎推理能力。
所谓合情推理在小学阶段主要指学生从已有的数学事实出发，凭借知识经验和直观思维，通过归纳和类比等数学活动推断形成一些数学结论的过程，一般可分为类比推理和归纳推理。由于小学数学的各种概念、法则、公式、性质等基本上是通过较为丰富的具体实例逐步抽象、概括得出的，所以小学阶段学生的合情推理所占的比重较大。在教学实践中，应该科学设计，创设具有挑战意义的问题情境，让学生在自主探索、独立思考、合作交流中逐步发展合情推理能力。
血管母细胞瘤是中枢神经系统一种富含血管的良性肿瘤，属于其他与脑膜相关的肿瘤(WHO I 级)[1-2]。现报道中国人民解放军总医院海南分院病理确诊实性肿块型血管母细胞瘤1例。
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图5
(1)类比推理，让学生在“思辨”中经历推理过程。小学阶段的类比推理主要是把两类具有相同(相似)属性的研究对象放在一起进行比较，从中发现其他方面一些不同属性的过程。这就需要我们能够为学生提供一些具有研究价值、挑战意义的学习材料，让学生从中探索、比较，找到问题的答案。例如在“能被2、5、3整除的数的特征”一课中，一般都是通过能被2整除数的特征类比推出能被5整除数的特征，但是实际教学效果往往不理想。笔者在教学中整合了原有教材的内容，在课始就出示“百数表”(如图5)，让学生自己找出能被2整除的数，并且用红色在表中标出。学生很快就发现能被2整除的数要看个位，数字特征是：0、2、4、6、8；接着让学生尝试类比能被5整除数的特征，还是在“百数表”中，用蓝色标注出来。学生在动手操作、类比以后，很快就发现了能被5整除数的特征：个位数字是0、5。并且通过“百数表”直观总结发现：2、5的倍数都分布在列上。最后研究能被3整除数的特征，让学生尝试圈一圈，学生很快发现和能被2、5整除数的特征完全不一样，不能看个位。这里类比推理主要是让学生自己破除“看个位”的定式，重新寻找规律。学生通过观察、交流最后发现：十位数字和个位数字和能被3整除，这个数就能被3整除，而且发现在“百数表”中能被3整除的数全部分布在“斜行”上。整个推理过程学生不仅能够充分利用“百数表”，通过正反两个方面对比发现规律，而且加深了对于知识的理解程度，达到事半功倍的教学效果。
(2)归纳推理，让学生在“建模”中提升推理能力。小学阶段的归纳推理是学生在考察一类对象特殊的属性之后，抓住其中具有一般意义的关键属性，由此推出此类对象一般属性的过程，它包括不完全归纳和完全归纳，其中不完全归纳推理是小学数学教材中常见的呈现方式。在教学中，需要引导学生通过观察、分析，准确认知特例，通过对特例进行数学意义的概括归纳，总结出具有一般意义的性质或者规律，建构数学模型，并且能够在数学活动中加以应用证明。例如四年级“加法运算律”一课中，通过实例等式“28+17=17+28”，让学生照着写一组这样的等式，观察这些等式，找出它们共同特征：等号两边的加数调换了位置，和不变，进一步进行归纳概括，如果用字母a和b表示两个加数，加法交换律该怎样表示？最后让学生把加法交换律应用到实际运算中。这就是一个典型的不完全归纳推理的案例，这个过程中，学生通过观察分析丰富的实例，提取出共同的特征，并且建立了加法交换律的模型：a+b=b+a，应用模型进行数学运算，进一步提升学生的推理能力。
所谓演绎推理主要是指小学生根据已知的概念、性质、定理、公式等一般性知识，推出某个特殊性结论的过程。它一般由大前提、小前提、结论三部分组成：大前提是已知的一般知识，小前提是所研究的特例，结论是根据一般知识对特例做出的判断。小学阶段发展学生的演绎推理能力要让学生在一些数学应用和证明中，初步建立演绎推理的意识，在解决问题的过程中发展演绎推理能力。如：在学习了“因数和倍数”这一单元后，教师就可以有意识地设计一些演绎推理的练习：234是不是3的倍数？在学生独立做出判断后，教师要追问：能说一说是怎样得出结论的？引导学生尝试交流表达：因为一个数各位上数字的和如果是3的倍数，这个数就是3的倍数(大前提)，234各位上数的和2+3+4=9，9是3的倍数(小前提)，所以，234是3的倍数(结论)。这样一来，学生不仅能够按照演绎推理的一般模式解决问题，而且能够清楚地表达推理过程，在有条理的表达中培养思维的有序性。
小学生数学学力最薄弱的就是创新思考能力，这需要我们在教学实践中能够积极营造开放的问题情境，潜移默化、日积月累，在解决问题的过程中让学生打开思维的闸门，释放创新的潜能，不断发展学生的创新思考能力。
数学基础知识和技能是学生创新思考的基石，因此我们要在平时保证普通习题训练的基础上，适度设计一些开放的数学问题，让学生“跳一跳”，引导学生通过分析一些基础的数学信息，迅速把握问题的核心与实质，独立进行探索研究，在顺利地解决问题的基础上，实现对数学基础知识和技能的超越和升华。如在“因数和倍数”综合练习课中，教师呈现这样一个题目：在102、138、139、210、234、259六个数中，2的倍数有哪些？3的倍数有哪些？学生自己较快地解决了这两个问题。教师再追问：6的倍数有哪些？学生独立思考，尝试解决，教师指名交流解题思路。一部分学生依据倍数的概念，用6去除每一个数，根据余数判断是否是6的倍数；另一部分学生则是大胆地将2和3的倍数特征综合成6的倍数特征，直接进行判断。这里学生在2和3倍数特征的基础上，通过自主探索、大胆联想，发现了6的倍数同时符合2和3倍数的特征，堪称是创新思考的一个典型案例。
图6
开放问题情境的创设，能够激发学生创新思考的欲望，让学生以自己独特的思考，描述、分析或解决数学问题。在这个过程中，学生不仅会兴趣盎然，思路开阔，而且深刻感受到创新思考的魅力，体验成功的喜悦，不断收获成功和信心。如：三年级“认识分数”这一单元复习课中，教师出示图(如图6)，让学生寻找七巧板中的几分之一。学生对于七巧板构成是很熟悉的，但是对于部分与整体之间、部分与部分之间的比例关系是一个需要创新思考才能解决的问题。学生可以从中找到很多的几分之一，关键通过练习，不仅让学生加深对于几分之一的认识，而且促进学生突破性地思考，培养学生创造思考的能力，学生的学力就可在这种真实、有效、开放的情境中得到良好的培养和提升。
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[参 考 文 献]
[1] 岳欣云，董宏建.论小学生数学隐性学力的提升[J].课程·教材·教法，2016(10)：63-68.
[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之七：推理能力[J].小学数学教师，2014(9)：31-37.
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