数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，提炼出数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学符号或数学术语予以表征。数学抽象使得数学成为高度概括、准确表达、有序多级的系统。
在做题时，学生对一些易错习题的理解不够透彻，对概念、图形等的抽象能力比较弱，于是我针对这些易错题做了分类。
类型概念类图形类规律探索类统计数43 43 43错误数16 26 38错误率37.2%60.5%88.4%错因分析概念理解模糊，灵活应用解决问题的能力不足。如：三角形三边关系，对两边之和大于第三边的结论不能够很好地应用。数形转化出现断层，分数概念等理解不到位，缺乏抽象概括和建构知识能力。不能很清晰地看出内在规律，不能很好感知图形的变化，透过变化抽出本质的能力不足。
这些问题反映出学生对知识的体验不深刻，对概念的形成过程不够熟悉，抽象概括能力比较弱；学生头脑中没有形成清晰的知识体系，不能进行有效的知识迁移。因此，培养学生的抽象能力是数学教学中不可忽视的一个问题，也是值得广大教师在实践中深入研究和探索的内容。
数学教学的主要目的在于培养学生的数学思维品质，而抽象的数学思维学生通常难以把握，需要教师通过直观的方式，将抽象的数学知识更加形象地呈现，便于学生理解和内化。
【例1】商中间、末尾有0的除法
师：306÷3的商大约是多少？你是怎样估算的？
师：结果到底是多少呢？请你们先尝试算一算。
师：你是怎么算的？为什么可以这样算？
（1）交流竖式
师：你们怎么计算306÷3？说一说计算过程。
生1：先用3 个百除以3 得1 个百，接着用十位上的0除以3得到1个零，再用个位上的6个一除以3得2个一，最后将1个百加上2个一就等于102。
“全过程”的要求也需要明确录制的内容。对收集言词证据录制内容需要包含取证的环境、相关权利义务的告知、办案人员提问的内容、被取证者陈述和回答的内容、被取证者的表情神态动作举止等。对搜查、查封、扣押等取证工作的录音录像除了包含调查人员搜查、扣押、查封行为外，还应当包含取证现场环境、现场人员的体貌特征和言行举止、见证人、收集到证据的形态特征、调查人员现场开具、送达法律文书和对有关物品采取措施情况等。
师：你们在解题的过程中遇到了什么新问题？
我给家长打了个比方：人生是场马拉松，培养学生广泛的爱好和技能，不断增长见识，拥有梦想和毅力是人生马拉松后程发力的重要保证。为了让家长能放下心来，使学生更好地成长，我召开了一次班会课，并邀请家长出席。
生2：被除数中间有0。
师：你们是怎么解决的？商的十位上为什么商0？
生3：因为被除数十位上是0，0÷3=0。
师：是呀，被除数的百位上正好被除尽，其十位上的0除以3得0，0商在十位上，个位落下来继续除。
初步设计和概算获得批复后，应立即开始施工图设计。在图纸设计阶段，甲方基建部门应做好审图把关，对照初步设计文件审查，并核对图纸套用设计规范的准确性。后续的概算编制工作应重点审查概算和预算的差价，并及时调整相关工程的设计标准，以符合初步设计和概算批复要求。
我正在发愣，巴克夏推了推我。一看，她落落大方地把行李和脸盆牙具放到地上说：“谢谢大家来接我——”一看是我们，便笑道：“是你们？怎么样？说话算数，言而有信吧？”说着向我伸过手来。
（2）简化算式
师：有的同学这样写（如右图），这种写法合理吗？你们还有更简便的写法吗？
（3）借图释理
将文献阅读引入本科概率论教学，是一种有益的尝试。学生读懂文献的过程是学生在对教材知识深刻理解的基础上，查找资料、自主学习的过程；同时也是充分体会作者的创新出发点、思路以及行文逻辑的过程；阅读笔记的撰写和文献的讲解则显著提高了学生的书面和口头表达能力；同时，小组的共同努力既锻炼了团队协作能力，也加强了师生的联系与互动。
师：我们借助方格图来看一看306÷3 的计算过程。
师：请用笔圈一圈、分一分，表示计算过程。
生4：只需要两步，先分百位上的 3，3 个百除以 3 等于 1 个百;再分个位上的 6，6 个一除以 3 等于 2 个一。因为十位上是0，0除以3等于0，所以十位上的分的过程可以省略。
师：十位上的这个0能不写吗？为什么？
生5：不能。不写的话就变成两位数了，跟我们一开始估算的结果——100多（三位数）不符。
师：如果被除数的中间、末尾出现0 除以一个数，那么在商的相应位置上要用0占位。（板书：商0占位）
在“数的运算”的教学中，借助小方块等直观操作可以帮助学生形成表象，再通过交流进行适度抽象，同时及时地追问和引导，就能帮助学生沟通具体感知和抽象概括之间的联系，逐步将思维引向深入，实现对算理的意义建构。
抽象是数学活动中的基本思维方法，也是数学的本质特征之一。数学抽象的对象可以是某种现实原型，但更多的是人们熟知的一些数学概念和结构，它是逐层递进的。教学需要直观，但也需跨越直观，打通直观与抽象之间的通道，让学生沿着这样的路径直达思维内核。
【例2】三角形的认识：认识三角形特征，建构三角形概念
（1）画一画，经历概念的形成过程
师：看了这么多，说了这么多，留在你心目中的三角形是怎样的呢？请画下来。
（学生典型作品展示，图略）
（2）说一说，语言呈现操作体验
师：你们是怎样画出这个三角形的？
生1：先画一条线段，然后在其中一个端点处接着画第二条线段，最后连起来。
反观口语化程度相对较强的《美国国情咨文》，因其在短语连接结构和名词化等特征上使用程度较低，分别只有7．6个/千词和22个/千词，进而增多了时间状语、地点状语等以辅助场景的指代，以及WH主位从句来明确人物关系的属性，如例3(划线部分为时间状语，斜体部分为WH主位从句)。
师：谁也是按这个方法画的？我们俩能不能合作在黑板上再画一个？你来说，我来画。
生2：点出3个点，根据已有经验，先在两点之间画出一条线段，接着换一个点，画出第二条线段，连接剩下两点，画出第三条线段。
师：三角形由3 条线段围成，3 条线段应该需要6 个点，为什么你只点了3个点就画成了？
生2：因为围成三角形的3 条线段一条接着一条，每两条线段共用一个端点。也可以说这3 条线段“首尾相接”。
（3）想一想，操作中体会3点不共线
师：那么是不是任意画3 个点都能围成三角形呢？同桌讨论，再拿出方格纸试一试。
师：想象一下，3个点怎样放不能围成三角形？
师（总结）：围成三角形的3 个点不能在同一条直线上。
从“职业倦怠值”与学历之间的联系（表6）看，基层农技人员中大学本科、大专学历占比最大，各占53.7%、34.0%，硕博士研究生占比低；高中及以下、大学本科学历的基层农技人员“职业倦怠值”均值相对较高，硕博士研究生学历的相对较低。从“职业倦怠值”与职称之间的联系（表7）看，基层农技人员中副高级、正高级占比较低，倦怠值也较低；初级、中级职称人员“职业倦值”相对偏高，离散程度偏大，这与“初级”“中级”职称基层农技人员职称存在瓶颈有一定相关性。
师（发散）：有了这个发现，现在可以放心大胆地找第三个点了。你想把它摆在哪里？想象这个三角形的样子。大胆一些，第三个点还能摆在哪里？
（4）议一议，归纳概括三角形特征
我国职前体育教师实习通常采取“集中型实习模式”，实习集中在本科第四学年的第一学期，其中的弊端显而易见：学生实习时间过短，缺乏教学反思过程。悉尼大学采取的实行阶段性实习模式，让教育实习真正成为一种实践过程，使得职前教师不断将课堂与书本中所学的知识与实习中所获得的教学经验进行融合，逐步形成教学能力，并有时间进行教学反思，经过回校进一步学习后，还有机会对反思所得进行验证、再现和改进，在往后实习阶段不会出现之前所犯的错误。通过持续的教学经验积累和批判性反思，职前教师才有可能顺利地进行独立教学。
师：回顾刚才的学习，我们交流了不同的画三角形的过程，也欣赏和想象了大小不一、形状各异的三角形，那么这些三角形都有什么相同之处呢？
生3：都是由3条线段围成的。
靶的顶杆用康铜制成T型，上部园盘半径2cm、长约30cm，下部顶在弹璜上、顶杆套在一钢筒内。园盘上放置半径2cm，厚度0.001cm的固体DLi靶材料。
生4：都有3个点（顶点）、3个角和3条边。
师：以上两位同学总结的就是三角形的特征。
三角形是最常见的一种图形，也是最基本的多边形之一。学生已经积累了一些“空间与图形”方面的知识和经验，同时也具备一定的空间感与抽象思维能力，他们对周围事物的感知和理解能力，以及探索图形之间关系的愿望还在不断提高。
有关三角形定义的教学，教师是通过让学生在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的属性，抽象出概念。首先，学生通过从点到线、从线到面的操作与观察中找出三角形的共同点，然后从画一画中发现和明确三角形的特征，最后通过一个疑问“3条线段应该需要6 个点，为什么你只点了3 个点就画成了？”，让学生尝试概括三角形的含义，着重理解“首尾相接”和“围成”两个关键词，建立正确的三角形概念。教师借助直观经验，把抽象的概念和具体的图形联系起来，引导学生发现三角形的特征，概括出三角形的定义。学生通过概念的内化与外显过程，逐步抽象出三角形的模型与其高的本质意义，发展了空间观念。
课程标准指出：“数学教学要让学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。”抽象有两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达。数学是抽象出来的符号体系，建立符号意识可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和逻辑。数学抽象的主要表征形态是数学符号，数学符号是数学抽象思维的外壳。符号意识是数学抽象的衍生素养，数学抽象最终指向的是数学模型的建立和数学思想方法的形成，以及建立数学结构与体系的过程。
【例3】乘法分配律
（1）结合情境引发问题
师：同学们表演节目，男、女生分别按队形站，男生队形每行13人，有8行；女生队形每行11人，有8行。你能提出哪些数学问题？
生1：男、女生一共有多少人？
师：你会列式吗？
生1：13×8+11×8。①
师：还有别的算法吗？
生2：（11+13）×8。②
师：为什么这样算？为什么可以把它们合起来？
(1)电渗析法除盐技术在炼油厂MDEA溶液脱除HSS的工业应用中取得了预期的效果，在MDEA溶液中HSS浓度较高时，去除效率较高，随着HSS浓度的下降，去除效率也随之下降。
生3：因为男、女生都是8行。
（2）数形结合理解算理
师：你能用直观的图例表示①和②两个算式相等吗？
（3）多样验证解释
（学生计算验证，得出乘法意义理解：13个8和11个8相加就是24个8相加）
师：如果女生队形每行增加2人，男生队形每行增加3人，两种算法的结果还相等吗？为什么？
生4：相等。13×8+16×8=（13+16）×8。③
师：再变一下，如果一个长方形长是a米，宽是8米，另一个长方形长是b 米，宽是8 米，两个长方形的面积之和是多少？
生5：a×8+b×8=（a+b）×8。④
师：观察这4个算式，你有什么发现？
这家伙没心没肺，肖玉死得比她惨，她在学校放假回家赶火车的时候，人太多，被挤下站台，让迎面进站的火车轧成两截。我一个月前知道这事的时候，正在从昆明回家的火车上。暑假回来高中同学聚会，大家都哭了，但直到今天才敢去她家。
（学生通过举例，归纳得出结论：a×c+b×c=（a+b）×c）
从科学公信力的三个维度（工具性信任、伦理性信任、符号性信任）出发，笔者从科学的应用效果、科学家的可信度、科学知识与方法的客观性三个方面，设计了包含七条陈述项目的科学公信力量表。其中工具性信任指标包括第1、2、6这三条陈述，伦理性信任指标包括第4、7这两条陈述，而符号性信任指标包括第3、5这两条陈述。根据李克特量表的选项分类与赋值方式，每条项目包括“非常不同意”“比较不同意”“无所谓同意不同意”“比较同意”“非常同意”五种可能的回答，分别赋值 1、2、3、4、5 分。然后将相关陈述的得分加总，得到工具性信任、伦理性信任、符号性信任以及科学公信力的分数。这七条陈述及其基本的描述性统计如表1所示。
数学课程的一个重要任务就是让学生建立符号意识，懂得符号的意义，感受和掌握使用符号的能力，会运用符号解决实际问题，发展抽象思维能力。让学生经历“具体事物→个性化的符号表示→数学地表示”的符号化过程，才能有效提升数学素养。
对于有关企业人力资源管理工作的高素质人才，要适当进行鼓励。比如说，对于高效率完成相关工作的工作人员，要适当给予一定程度上的福利待遇，激励员工更加努力有效地工作。另外，对于长期处于压力状态下的企业部门，企业的人力资源管理部门应组织相关人员进行适当的放松。例如，可以组织相关人员进行内部聚餐，或者在工作告一段落之后，组织相关工作人员出去游玩，放松心情等等，都是企业人力资源部门应该组织开展的有效策略。
培养学生的抽象能力，对他们学好数学、应用数学，培养初步逻辑思维能力和数学核心素养具有重要意义。史宁中教授说：“数学的表达是符号的，但教学应当是物理的；数学的证明是形式的，但教学应当是直观的；数学的体系是公理的，但教学应当是归纳的。”对于教师来说，不能为抽象而抽象，应结合具体的教学内容为学生选择恰当的、物理的、实际的情景，通过设计直观的操作活动帮助学生进行抽象归纳。数学抽象在教学中得以落实不是朝夕之功，需长期的研究和探索。
联系客服
