ABAQUS中动态分析包括两大类基本方法:
①振型叠加法:用于求解线性动态问题;
②直接积分法:主要用于求解非线性动态问题。
ABAQUS显式(explicit)和隐式(standard)算法分别对应着直接积分法中的中心差分法(显式)和Newmark(隐式)法等。
比较两种算法,显式中心差分法非常适合研究波的传播问题,如碰撞、高速冲击、爆炸等。显式中心差分法的M与C矩阵是对角阵,如给定某些有限元节点以初始扰动,在经过一个时间步长后,和它相关的节点进入运动,即U中这些节点对应的分量成为非零量,此特点正好和波的传播特点相一致。另一方面,研究波传播的过程需要微小的时间步长,这也正是中心差分法的特点。
而Newmark法更加适合于计算低频占主导的动力问题,从计算精度考虑,允许采用较大的时间步长以节省计算时间,同时较大的时间步长还可以过滤掉高阶不精确特征值对系统响应的影响。隐式方法要转置刚度矩阵,增量迭代,通过一系列线性逼近(Newton-Raphson)来求解。正因为隐式算法要对刚度矩阵求逆,所以计算时要求整体刚度矩阵不能奇异,对于一些接触高度非线性问题,有时无法保证收敛。
下面分别介绍这两种算法。
1.显式算法(中心差分法)
假定 0,
将(1)式代入运动方程后整理得到:
式(2)中:
分别称为有效质量矩阵,有效载荷矢量。R,M,C,K为结构载荷,质量,阻尼,刚度矩阵。
求解线性方程组(2),即可获得
中心差分法在求解
中心差分法,在开始计算时,需要仔细处理。t=0时,要计算
中心差分法中时间步长
可以证明:中心差分法是条件稳定的。即当时间步长
2 隐式算法(Newmark 法)
Newmark 假定在时间间隔
式中
根据(6)式可给出
称之为有效刚度矩阵和有效载荷矢量。由上式可以看出求解当前
当载荷历史全部已知时,
可以证明,当参数
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