Abaqus中的特征值提取

自由振动在数学上讲就是特征值方程。特征值方程的解给出了特征值以及结构的模态，而且还能使结构在动力学荷载作用下的运动方程解耦。因而，特征值的求解对于振动问题来说尤其重要。特征值的提取是建立在一个无阻尼的自由振动系统上，及振动方程中没有阻尼项的影响。

特征值和模态反应了结构在自由振动下的特点和频率特征。采用振型分解法获得振型和频率，就可得到任何线性结构的响应。通常实际结构中，只需考虑前几阶振型就能获得相当精度的解。结构动力学的实际问题涉及面很广，对于只有几个自由度的力学模型，只考虑一个或两个自由度就能求得动力响应的近似解，而对于具有几百个甚至上千个自由度的复杂有限元模型，就需要考虑数十个甚至上百个振型对响应的影响。

在求解特征值问题时，有两种情况，一种是求解结构系统特征方程的全部特征值问题，即所有的特征值和对应的特征向量；另一种是求解部分特征值问题，即部分（通常是最小或最大的一些）特征值和对应的特征向量。这是因为，在结构动力学中，往往矩阵的阶数都很高，有时不可能，也没有必要求解全部特征值和特征向量。在求解方法上，也分为两大类，一类是直接求解法，另一类是向量迭代求解法。

直接求解法可以用来研究需要求解所有特征值和特征向量的自由度较少的系统，计算工作量较大。计算过程中结构的特征矩阵可以被转化为对称的对角阵形式，可以很容易地同时求解出所有特征值。对于较大的系统可以通过缩减技术来提高计算效率，例如Guyan缩减法在求解时就可以有效地减少结构的自由度数目。向量迭代方法包括子空间迭代法(subspace)和兰索斯迭代法(Lanczos)等。使用迭代法可以求解较大结构系统的少数特征值问题，计算时间依据结构自由度的大小和需要提取的特征值个数而定。在ABAQUS中提供了三种提取特征值的求解器：AMS (Automatic Multi-level Substructuring) 求解器、Lanczos特征值求解器和子空间迭代求解器。Lanczos特征值求解器是默认的方法。

AMS 特征值求解器是一种高效的，针对大规模问题的能提取大量特征值的方法，主要适用于1百万自由度以上的模型及500阶模态以上。它包含3个求解步骤：（1）生成子结构；（2）获得特征值；（3）从缩减的向量中获得全部特征向量。在Abaqus中采用AMS特征值求解器的句法（提取100阶频率）

对于传统的结构，Lanczos是默认的特征值提取方法。然而对于大规模问题，相比AMS方法，Lanczos方法效率较低。使用Lanczos方法，可以指定最大频率的提取或提取的频率数量，也可以指定最小频率的提取。Lanczos特征值求解器允许计算到特征值真正的误差限制时才终止，可以满足正常的终止原则。对于多数问题，相对误差为1.E-12数量级，因此Lanczos求解器的计算结果精度一般要比子空间迭代法高。而子空间迭代法的终止条件是通过判断从这一次迭代到下一次迭代过程中特征值的相对变化来实现的，如果相对变化小于1.E-5则认为已经收敛，结束计算。

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