又来黑
我们大高斯
问:看过一个用尺规作出正17边形的视频,不过步骤太快,难懂。能否具体解释一下各个步骤的意义?
高斯当年并没有亲自去画正十七边形...大概是他觉得这个太Trivial了……
毕竟难度90%都在于到底有哪些正多边形可尺规作图而不是怎么尺规作图。
尺规作图的过程全部蕴含在代数式里了。
我们一起来看看怎么把这个代数公式翻译成作图过程。
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首先随便画一条直线,这条直线的作用是记录,记录你作出过的所有长度。
当然动态图里没有这个,事实上也没有人画这个,因为这是打擦边球...
尺规作图的公理里明确指出禁止在尺上做标记,所以这么画条直线变相做标记也是君子所不齿的。
不过另一方面又规定了圆规能够量取已经存在(做出)的所有长度...
在哪量不是量...这条直线不管怎么样都是隐式存在的.......
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你有了一条线,然后随便点一个点A,于是你有了个零元。
接下来再随便点一个其它点B,于是你有了个幺元,AB定为单位长度。
根据尺规作图公理,圆规可以量取任意已存在的长度,将量取的长度转移到这条直线上。
因此这条直线就能记录已存在长度的集合。
虽然N等分点相当于除以个整数,但是要获得更强大的除法计算能力就要构建除法器了。
虽然勾股定理能开根,但是勾股定理有个局限性就是要求两条线段直角。对于单一的线段就只能使用开根器了。
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反复使用记录器,加法器,除法器,开根器就能计算出一条长度正好为
的线段。
然后找出圆心角和所对弦的关系:
所以
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因此要做的就是
先翻译这个三角函数值到记录器上去
然后把记录器上的一个个过程组装到圆上去.
然后再想办法化简原始的组装过程.
3张组装动图
组装过程显然有很多种,其中第一张图是往外组装,第三张图是向内组装。
组装完了大概就是这个样子的:
当初高斯大概是不屑于去画出正十七边形,因为太简单无脑了...
由是观之,多边形尺规作图问题等价于
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