什么是多面体的外接球,如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球。
多面体的外接球问题,是立体几何的一个重点,也是高考考察的一个热点,当然这热点不是“重点”,而是难点!有多少优秀的孩子们被这个球弄得乱七八糟!
研究多面体的外接球问题,又要运用球的性质,要命的是还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用,接下来,我们通过几道例题来探讨这类问题的求解策略。
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定义法
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例7、矩形ABCD中,AB=6,CD=8,沿对角线AC将平面ACD折起,构成一个四面体,求四面体D-ABC外接球的体积为。
解析:(如图)因为四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等,由矩形的对角线互相平分,可得点O到四个顶点A、B、C、D的距离都相等。所以点O就是四面体外接球的球心,因此,求四面体外接球的半径可转化为先求矩形的对角线长,再计算半径。
实际上,我们可以得到:有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥,外接球球心在公共斜边的中点处。
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构造直角三角形
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例8、正三棱锥V-ABC中,其中侧棱VA=4,AB=BC=AC=2,求三棱锥V-ABC外接球的半径为。
解析:设正三棱锥底面△ABC外心是E,外接球的球心为O,如图,由球的截面的性质,可得OE⊥平面ABC,又VE⊥平面ABC,所以球心O必在VE所在的直线上,设外接球的半径为R,
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轴截面
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例9、三棱锥S-ABC中,其中SA⊥平面 ABC,
∠BAC=30°,且SA=8,BC=3,求三棱锥S-ABC外接球的体积为。
解析:寻找底面△ABC的外心M,过M作底面△ABC的垂线MN,使得MN=SA,则外接球的球心必在直线MN上,因为SA⊥平面ABC,所以四边形AMNS是矩形,且O到A、B距离相等,所以O是MN的中点,所以OA即为外接球的一条半径。
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向量法
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例10、如图,在棱长为2的正方体ABCD-EFGH中,M为上底的中心,则三棱锥M-ACF外接球的表面积为。
解析:三棱锥M-ACF没有特殊垂直的关系,不容易找出球心的位置,但是三棱锥M-ACF放置在正方体中,我们可以建立空间直角坐标系,利用球心到四个顶点的距离相等求出球心的坐标,进而计算出半径。
多面体的外接球问题是有关球类的问题的基本题型之一,因为它能全方位、多角度、深层次考察空间想象能力,所以深受命题人青睐。这类问题由于不易画图而变得抽象难解,所以在解决这类问题时首先考虑构造典型的几何体模型,其次寻找球心,通过“截面”把立体几何问题转化为平面几何问题,当然最后还有我们的空间直角坐标系,通过建系发挥空间向量的威力!
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