这个神奇的六边形难道也要失传?

带你走进一个不一样的数学世界

导读

本文既可以作为高中的课外阅读资料, 也是大学和高中数学衔接缺失内容之一, 也就是说'高中没教你, 但是大学当作你学过'的内容. 如果上了大学学高等数学的时间发现有这方面的内容不懂, 记得这里讲过

文章会提到一个神奇的六边形, 恐怕会像笔算平方根那样失传了, sad.

我国的高中课程进行了一系列的改革, 最后终于把原来高中课程所要学的六种三角函数减少为三种, 当然, 是最常用的三种, 而且删掉的三种可以轻而易举地用学过的三种表示出来. 这样一来, 既减小了学习的负担, 又不会导致功能的缺失, 两全其美.

然而, 大学并没有搞什么'新课标', 还是按以前的眼光看你. 也就是说, 默认高中已经接触过六种三角函数了. 所以, 作为准大学生的话, 如果你未来要学高数, 了解一下没学的另三种是有用的. 

放心, 并不难.

甚至可以说很简单.

1

定义

首先回忆一下学过的那三种三角函数的定义(正弦, 余弦, 正切). 注意, 不要说什么'对比斜, 邻比斜'之类的, 那是初中的定义, 只适用于锐角. 这样子说容易让别人误解成你是初中刚毕业的[尴尬]. 

任意角是这样定义三角函数的:

①先用旋转的方式得到角α的终边(始边x轴正半轴, 正角逆时针, 负角顺时针):

②在α的终边上任取一点P (原点除外), 设P 坐标为(x, y ), OP =r , r 一定大于0:

③定义:

如果α恰好是锐角, 这样定义的三角函数值和初中的是一致的.

---

如果这三个三角函数的定义没问题的话, 那么对另外三个三角函数也不会有太大问题:

cot叫余切, sec叫正割, csc叫余割.

曾经也把正切写成tg, 余切写成ctg, 现在比较少见.

为了便于记忆, 总结一个规律: x在分子, 或y在分母的, 都是'余'; x在分母, 或y在分子的, 都是'正'.

从定义很容易看出: 余切是正切的倒数; 正割是余弦的倒数; 余割是正弦的倒数. 正因为如此, 现行高中教材保留的三个能够轻易地将删掉的三个表示出来, 教材这么做是有一定道理的.

2

神奇六边形

高中有学过同角三角函数的关系, 那么多了三种三角函数之后, 同角三角函数的关系有哪些呢? 这可以概括为一个六边形表示. 这个六边形的神奇之处在于, 它的高度概括性, 几乎可以媲美'奇变偶不变, 符号看象限'. 看图:

记忆: 中间是1, 第一行从左到右是正余弦, 第二行从左到右是正余切, 第三行从左到右是正余割. 这个图反应了以下关系:

①边上的每个圈都等于左右两个圈相乘:

当然了, 其实这六个公式可以由第一个, 也就是高中有学的那个, 轻松推出来(利用倒数关系);

②其实中间那个圈也是旁边两个数相乘, 这个是前面说的倒数关系:

③平方关系. 六边形里面的那三个倒三角, 就是蓝色的那三个, 肩上的两个数之平方和等于下面那个数的平方:

第一个是高中有学的, 后两个也可以很容易用倒数关系推出来. 注意第二个公式两个三角函数都是'正', 第三个都是'余'.

一个简单的图形就概括了这么多公式, 真所谓神奇啊. 可惜因为教材的原因, 这个图形已经渐渐淡出, 会不会失传呢? 这个图可比笔算平方根有用多了.

3

思考

结合高中学过的知识, 大家可以思考一下函数y =cot x , y =sec x 和y =csc x 的图像是怎样的(图像知道了, 定义域值域单调性奇偶性周期性这些也都知道了.)