泊松方程

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泊松方程（法语：équation de Poisson）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。^[1]

方程的叙述[编辑]

泊松方程为

在这里

代表的是拉普拉斯算子，而

和

可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为

，因此泊松方程通常写成

在三维直角坐标系，可以写成

如果有

恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。

数学表达[编辑]

通常泊松方程表示为

这里

代表拉普拉斯算子，

为已知函数，而

为未知函数。当

时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

其中

为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

其中

为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积

得到

的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

为一个校正函数，它满足

通常情况下

是依赖于

。

通过

可以给出上述边界条件的解

其中

表示

上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

静电学[编辑]

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：

此

代表电势（单位为伏特），

是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而

是真空电容率（单位为法拉/米）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则

此方程就变成拉普拉斯方程：

高斯电荷分布的电场[编辑]

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度

：

此处，Q代表总电荷

此泊松方程：

的解Φ(r)则为

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场

；正如我们所预期的。

参阅[编辑]

参考资料[编辑]

^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer, 503, 2005, ISBN 9780922152766.

Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

外部链接[编辑]

Poisson equation//Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Poisson's equation on PlanetMath.

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