本篇接着阐述理论力学动力学中的核心观念。阐述的方式依旧是回答几个问题。
问题1:动力学的基本问题是什么?
答案:虽然书上有关于动力学问题的许多说法,但是就实际应用而言,对于我们机械专业而言,我们所遇到的最常见的动力学问题是,在一个机构上的原动件受到了力(偶),我们要得到机构上各构件的速度和加速度。或者已知了速度和加速度,要反推这个力(偶)是多少。
下图就是这样一个例子。在OA杆上施加一个驱动力偶,各个杆件都有重力,我们要计算此时各约束处的约束力的大小,还需要计算CD杆的速度和加速度。
该问题中,力与运动交织在一起,这就是机构的动力学问题,也是机械中经常遇到的问题。
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问题2:如何求解动力学问题?
答案:
解决动力徐问题的方法很多。我们只要谈两种方法:第一种是通用解法,第二种是动静法(达朗伯原理)。
通用解法,是指面对一个动力学问题,我们总是有一套很程序化的思路来求解它,这套思路中,我们会使用刚体平面运动的微分方程。使用这种方法,我们几乎不用思考,就可以列出所有的方程,解决所有的未知数。例如, 对上面这个问题,如果它已知M,要求CD杆的加速度。则使用通用解法,我们可以同时求出AB杆,BE,CD杆的加速度,也可以求出A,B,C,D,E处所有的约束力。使用通用解法,我们几乎不用关注题目要求什么,而总是可以求出所有的未知数。
动静法,是说把这个动力学问题从形式上变成静力学问题,然后再借用静力学的求解方法来计算所需要的未知数。动静法之所以能够把动力学问题变成静力学问题,是因为它把加速度变成了惯性力,然后对于系统中的每一个构件,形成了一个力系平衡的问题。而我们之所以使用动静法,是因为对于静力学问题,我们有很多解题技巧,例如取整体为对象,或者取某几个构件一起为对象,或者对任何一个点取力矩,这些优越性,都是刚体平面运动微分方程所不具备的。
问题3:如何使用通用解法求解动力学问题?
答案:使用通用解法求解动力学问题的步骤如下:
(1)绘制受力图,并标出每个物体质心的加速度和构件的角加速度。
(2)确定未知数。在(1)中出现的所有未知力,以及加速度都是未知数,计算这些未知数的数目,设为M。
(3)问题分析。首先对每个物体列出刚体平面运动微分方程3个,从而确定可以列的所有动力学方程,设为N。那么需要追加的方程数目是M-N.这些方程应该来自于运动学或者滑动摩擦定律。
(4)列出所有动力学方程。
(5)补充方程。
如果问题中有摩擦,且发生了相对滑动,则需要补充滑动摩擦定律;
其次,追加加速度的关系式。凡是两个相互连接的物体之间都有加速度的关系式,要分辨两个物体之间是绳传动?是铰链连接?是移动副?是高副?根据不同情况增加不同的加速度关系式。
此外,如果一个物体在做平面运动,一般需要用基点法给出上面两个特殊点的加速度关系式。
(6)联立上述方程组求解。
问题4: 如何使用达朗伯原理求解动力学问题?
答案:
使用达朗伯原理求解动力学问题的步骤如下:
(1)对物系中的每个物体绘制受力图。此时每个物体受到主动力和约束力,绘制受力图的方法就是在静力学中使用的方法。
(2)在(1)所绘制的受力图上,对每个物体标注质心的加速度和刚体的角加速度。
(3)在(2)的基础上,在每个加速度的反方向上施加惯性力或者惯性力偶。到此为止,每个物体的受力图就是完整的。
(4)对于(3)给定的完整的受力图(包含了主动力,约束力,惯性力(偶)的图形),鉴别需要求解的未知数是哪几个力,然后确定如何用静力学的方法取研究对象,列方程。
(5)一般而言,需要追加加速度的关系方程,然后联立(4)的力系平衡方程一起求解。
将达朗伯原理用到上述问题上(为方便起见,将上图重抄如下),其解题思路如下:
首先,分别绘制出OA,AB,BE,CD,滑块C的受力图。
其次,对OA,AB,BE,CD,滑块C分别标出其质心的加速度,并对OA,BE杆标出角加速度。
再次,在上述加速度的反方向上绘制出惯性力和惯性力偶。
然后,确定如何用静力学的方法求解上述CD杆的水平惯性力(它代表着CD杆的加速度)?
然后,追加各个杆件质心的加速度及杆件的角加速度的关系,补充方程。
最后,联立上述方程组求解。
问题5:上述两种求解方法各有什么优缺点?
答案:
尽量使用通用解法。
对于达朗伯原理,理论上很容易,其实不然。它需要解题人对惯性力的施加很清楚,也需要熟练掌握静力学的解题技巧(否则,该方法意义就不大),此外,仍旧需要增加加速度的关系式。使用该原理,解题人需要对思路非常清晰,否则,绕来绕去,都不知道自己要做什么了。
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