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蝴蝶定理(Butterflytheorem),是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年,而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号,由于其几何图形形象奇特,貌似蝴蝶,便以此命名。蝴蝶定理(Butterfly Theorem):设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD。射影几何里面关于投影变换有一个重要结论,对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.
蝴蝶定理(Butterfly Theorem):设M为圆内弦PQ的中点,过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y,则M是XY的中点。
去掉中点的条件,结论变为一个一般关于有向线段的比例式,称为“坎迪定理”, 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2,3均成立。
过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,
连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF
∴ES/CS=ED/FC
根据垂径定理得:LD=ED/2,FT=FC/2
∴ES/CS=EL/CT
又∵∠E=∠C
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
取OM中点X,在Rt△MTO和△OSM中,TX=OX=MX=SX
∴O,S,N,L四点共圆,(一中同长)
同理,O,T,M,S四点共圆
∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
方法2从X向AM和DM作垂线,设垂足分别为X'和X''。类似地,从Y向BM和CM作垂线,设垂足分别为Y'和Y''。
(证明过程见图片)
方法3(对称法)(证明过程见图片)
方法4(证明过程见图片)
方法5(同方法2图)此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理
连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J,连接IF、DJ交于K,
连接GK、HK。由帕斯卡定理得:M、O、K共线
∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
又∵CI、EJ为⊙O直径 ∴∠GFK=∠HDK=90°
又∵∠GMK=∠HMK=90° ∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°,
∴G、F、K、M共圆,H、D、K、M共圆 ∴∠GKM=∠GFM,∠MKH=∠MDH
又∵∠GFM=∠MDH ∴∠GKM=∠MKH 又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)∴GM=MH
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况,有多种推广:M,作为圆内弦是不必要的,可以移到圆外。
蝴蝶定理的圆外形式:
如图,延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M,过PM做OM垂线,垂线与CB和AD的延长线交于E、F,则可得出ME=MF(证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4)
1.在椭圆中
如图一,椭圆的长轴A、A与x轴平行,短轴BB在y轴上,
中心为M(o,r)(b>r>0)。
(I)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率
(II)直线y=kx交椭圆于两点C(x,y),D(x,y)(y>0);直线y=kx交椭圆于两点G(x,y),H(x,y)(y>0)。求证:kxx/(x+x)=kxx/(x+x)
(III)对于(Ⅱ)中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q。
求证: | OP | = | OQ |。(证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形)
从x向AM和DM作垂线,设垂足分别为X'和X''。
类似地,从Y向BM和CM作垂线,设垂足分别为Y'和Y'
设:k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+
x4)为①式,两边同取倒数,得为
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设:x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
将①’两边同乘以k1·k2,即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
纵观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程方法处理几何问题的作用与威力。
2.在圆锥曲线中
通过射影几何,我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线(包括椭圆,双曲线,抛物线,甚至退化到两条相交直线的情况)。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。
而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。
射影几何里面关于投影变换有一个重要结论,对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.
由此对于本题,我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M,而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。
在此变换以后,弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形,PQ也是一条直径,有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点,我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换,所以变换前M也是XY的中点。
3.在平行四边形中
在平行四边形中,,M为对角线AB与CD中点。
4.坎迪定理
去掉中点的条件,结论变为一个一般关于向量的比例式,成为「坎迪定理」,这对2,3均成立
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