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数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。 集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。在朴素集合论中，集合被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
主条目：集合 (数学)和集合代数
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。
另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A ? B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。
数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算：
集合A和B的并集，符号为A ∪ B，是在至少在集合A或B中出现的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的联集为集合{1, 2, 3, 4} 。
集合A和B的交集，符号为A ∩ B，是同时在集合A及B中出现的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的交集为集合{2, 3} 。
集合U和A的相对差集，符号为U \ A，是在集合U中,但不在集合A中的所有元素，相对差集{1,2,3} \ {2,3,4} 为{1} ，而相对差集{2,3,4} \ {1,2,3} 为{4} 。当集合A是集合U的子集时，相对差集U \ A也称为集合A在集合U中的补集。若是研究文氏图，集合U为全集时，且可以借由上下文找到全集定义时，会使用A来代替U \ A。
集合A和B的对称差，符号为A △ B或A⊕B，是指只在集合A及B中的其中一个出现，没有在其交集中出现的元素。例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的对称差为{1,4} ，也是其并集和交集的相对差集(A ∪ B) \ (A ∩ B)，或是二个相对差集的联集(A \ B) ∪ (B \ A)。
集合A和B的笛卡儿积，符号为A × B，是一个由所有可能的有序对(a,b)形成的集合，其中第一个物件是A的成员，第二个物件是B的成员。{1, 2}和{red, white}的笛卡儿积为{(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}。
集合A的幂集是指是以A的全部子集为元素的集合，例如集合{1, 2} 的幂集为{ {}, {1}, {2}, {1,2} } 。
一些重要的基本集合包括空集（唯一没有元素的集合），整数集合及实数集合。
集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。
在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学，应该留给上帝”。而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗-弗兰克尔集合论有关。维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过。
对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。
拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案，如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。
《古今数学思想》书中 (第四册58页) 指出：集合论里的中心难点是无穷集合这个概念本身，从希腊时代以来，这样的集合很自然地引起数学界与哲学界的注意，而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，使得对这种集合的理解，没有任何进展，Zenode的悖论可能是难点的第一个迹象，既不是直线的无限可分性，也不是直线作为一个由离散的点构成的无穷集合，足以对运动作出合理的结论。Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，例如整数集合，但他不承认一个无穷集合可以作为固定的整体而存在，对他来说，集合只能是潜在地无穷。
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